Les espaces métriques sont séparés

Les Espaces Métriques sont Séparés

La structure d’un espace métrique, définie par une notion de distance, est plus riche et plus contraignante que celle d’un espace topologique général. Cette structure supplémentaire garantit automatiquement la propriété de séparation de Hausdorff. C’est un résultat fondamental qui assure que tous les espaces où l’on peut mesurer des distances ($\mathbb{R}^n$, espaces de fonctions, etc.) se comportent bien du point de vue de la séparation.

Théorème : Espace Métrique $\implies$ Espace Séparé

Tout espace métrique $(X, d)$, muni de la topologie induite par la distance $d$, est un espace séparé (de Hausdorff).

Démonstration

Soit $(X, d)$ un espace métrique. Nous devons montrer que pour toute paire de points distincts, il existe deux voisinages ouverts disjoints.

Choix des points : Soient $x$ et $y$ deux points distincts de $X$. Par définition, cela signifie que $x \neq y$.
Définition de la distance : La distance entre ces deux points est un nombre réel strictement positif. Posons $r = d(x, y)$. On a donc $r > 0$.
Construction des voisinages : Choisissons un rayon égal au tiers de cette distance, soit $\epsilon = r/3$. Considérons les boules ouvertes centrées en $x$ et $y$ avec ce rayon :
- Soit $U = B(x, \epsilon)$, la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\epsilon$.
- Soit $V = B(y, \epsilon)$, la boule ouverte de centre $y$ et de rayon $\epsilon$.
Par définition de la topologie métrique, $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $V$ est un voisinage ouvert de $y$.
Vérification de la disjonction (par l’absurde) : Supposons que ces deux voisinages ne sont pas disjoints, c’est-à-dire que $U \cap V \neq \emptyset$. Il existerait alors un point $z \in U \cap V$. Ce point vérifierait simultanément : $$ d(z, x) < \epsilon \quad \text{et} \quad d(z, y) < \epsilon $$ En utilisant l'inégalité triangulaire, on pourrait écrire : $$ d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y) $$ En utilisant les inégalités ci-dessus, on aurait : $$ r < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon $$ En remplaçant $\epsilon$ par sa valeur $r/3$, on obtient : $$ r < 2 \times \frac{r}{3} \implies r < \frac{2r}{3} $$ Cette dernière inégalité est absurde, car $r$ est strictement positif.

Conclusion : L’hypothèse que $U$ et $V$ se coupent est fausse. Les voisinages $U = B(x, r/3)$ et $V = B(y, r/3)$ sont donc disjoints. L’espace $(X, d)$ est bien un espace séparé.