Produit d’espaces de Hausdorff

Produit d’Espaces de Hausdorff

Tout comme pour les sous-espaces, la propriété de séparation de Hausdorff se comporte très bien avec l’opération de produit topologique. Si l’on combine des espaces « bien séparés », l’espace résultant hérite de cette bonne propriété de séparation.

Démonstration (pour un produit de deux espaces)

Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques séparés. On munit l’espace produit $X \times Y$ de la topologie produit.

1. Choix des points : Soient $z_1 = (x_1, y_1)$ et $z_2 = (x_2, y_2)$ deux points distincts dans $X \times Y$.
   Puisque $z_1 \neq z_2$, on a soit $x_1 \neq x_2$, soit $y_1 \neq y_2$ (ou les deux).
2. Cas 1 : $x_1 \neq x_2$.
   • Comme $X$ est séparé, il existe deux ouverts disjoints $U_1, U_2$ dans $X$ tels que $x_1 \in U_1$, $x_2 \in U_2$ et $U_1 \cap U_2 = \emptyset$.
   • Considérons les ensembles $W_1 = U_1 \times Y$ et $W_2 = U_2 \times Y$. Par définition de la topologie produit, ce sont des ouverts de $X \times Y$.
   • Clairement, $z_1 = (x_1, y_1) \in W_1$ et $z_2 = (x_2, y_2) \in W_2$.
   • De plus, $W_1 \cap W_2 = (U_1 \times Y) \cap (U_2 \times Y) = (U_1 \cap U_2) \times Y = \emptyset \times Y = \emptyset$.
   • Nous avons trouvé deux voisinages ouverts disjoints pour $z_1$ et $z_2$.
3. Cas 2 : $y_1 \neq y_2$.
   • Le raisonnement est identique. Comme $Y$ est séparé, il existe deux ouverts disjoints $V_1, V_2$ dans $Y$ tels que $y_1 \in V_1$ et $y_2 \in V_2$.
   • Les ensembles $W_1 = X \times V_1$ et $W_2 = X \times V_2$ sont des ouverts disjoints de $X \times Y$ qui séparent $z_1$ et $z_2$.

Conclusion : Dans tous les cas, nous pouvons séparer deux points distincts de $X \times Y$ par des voisinages ouverts disjoints. L’espace produit est donc de Hausdorff. La preuve se généralise facilement à un produit fini, et avec un peu plus de formalisme, à un produit infini.