Le Théorème de Heine-Borel
La définition de la compacité avec les recouvrements ouverts est très générale et puissante, mais elle peut être difficile à manipuler directement. Le théorème de Heine-Borel (parfois appelé Borel-Lebesgue) fournit une caractérisation beaucoup plus intuitive et pratique des parties compactes dans le cadre familier des espaces vectoriels normés de dimension finie, comme $\mathbb{R}^n$.
Théorème de Heine-Borel
Dans l’espace $\mathbb{R}^n$ (muni de sa topologie usuelle), une partie $A$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Remarques Importantes
- Condition Nécessaire et Suffisante : Il est crucial de comprendre que c’est une équivalence. Pour vérifier si une partie de $\mathbb{R}^n$ est compacte, il suffit de tester ces deux conditions géométriques simples.
- Fermée : La partie doit contenir tous ses points d’accumulation. Intuitivement, elle doit inclure sa « frontière ».
- Bornée : La partie doit être contenue dans une boule de rayon fini. Elle ne peut pas « s’étendre à l’infini ».
- Validité du Théorème : Cette équivalence est spécifique à $\mathbb{R}^n$ et, plus généralement, à tout espace vectoriel normé de dimension finie. Elle est fausse en dimension infinie ou dans des espaces topologiques généraux.
Exemples dans $\mathbb{R}$
- L’intervalle $[a, b]$ est compact. Il est à la fois fermé et borné.
- L’intervalle $]a, b[$ n’est pas compact. Il est borné mais n’est pas fermé.
- L’intervalle $[a, +\infty[$ n’est pas compact. Il est fermé mais n’est pas borné.
- L’ensemble $\mathbb{Z}$ n’est pas compact. Il est fermé mais n’est pas borné.
- L’ensemble $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ n’est pas compact. Il est borné mais n’est pas fermé dans $\mathbb{R}$ (son adhérence est $[0, 1]$).