Compacité et Fonctions Continues
La compacité interagit de manière remarquable avec la continuité. L’une des propriétés les plus importantes de la topologie est que la compacité est une propriété « conservée » par les fonctions continues. Cela a des conséquences profondes en analyse, notamment pour garantir l’existence de maxima et de minima.
L’image d’un ensemble compact par une application continue est un ensemble compact.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques. Si $A$ est une partie compacte de $X$ et $f: X \to Y$ est une application continue, alors l’image $f(A)$ est une partie compacte de $Y$.
Ce théorème est extrêmement puissant. Il signifie que si vous partez d’un « bon » ensemble (compact) et que vous lui appliquez une « bonne » transformation (continue), l’ensemble que vous obtenez à l’arrivée est toujours un « bon » ensemble (compact).
Le Théorème des Bornes Atteintes
La conséquence la plus célèbre de ce théorème concerne les fonctions à valeurs réelles. Elle généralise un résultat bien connu de l’analyse sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction continue $f$ d’un espace compact $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ est bornée et atteint ses bornes.
Cela signifie qu’il existe deux points $x_{min}$ et $x_{max}$ dans $X$ tels que pour tout $x \in X$ : $$ f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max}) $$ Le nombre $m = f(x_{min})$ est le minimum de $f$ sur $X$, et $M = f(x_{max})$ est son maximum.
Exemple d’Application
Soit $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
- L’intervalle de départ $[0, 1]$ est une partie compacte de $\mathbb{R}$ (car fermée et bornée).
- La fonction $f$ est continue.
- D’après le théorème fondamental, l’image $f([0, 1])$ est une partie compacte de $\mathbb{R}$.
- D’après le théorème de Heine-Borel, cela signifie que $f([0, 1])$ est une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}$.
- Puisque $f([0, 1])$ est une partie bornée, la fonction $f$ est bornée.
- Puisque $f([0, 1])$ est fermée et bornée, elle contient sa borne supérieure (son maximum) et sa borne inférieure (son minimum). La fonction $f$ atteint donc ses bornes.