Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. On peut associer à $f$ une application $\Phi: E \to E^*$ qui à un vecteur $y \in E$ fait correspondre la forme linéaire $\varphi_y$ définie par $\varphi_y(x) = f(x,y)$.
La forme hermitienne $f$ est dite non dégénérée si cette application $\Phi$ est injective.
Remarque
De manière équivalente, une forme hermitienne $f$ est non dégénérée si et seulement si le seul vecteur orthogonal à tous les autres est le vecteur nul : $$ f \text{ est non dégénérée} \iff (\forall x \in E, f(x,y)=0) \implies y=0 $$
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie, $f$ une forme hermitienne sur $E$, et $A$ la matrice de $f$ dans une base quelconque de $E$. Alors : $$ f \text{ est non dégénérée} \iff \det(A) \neq 0 $$
Démonstration
La démonstration est analogue à celle du cas des formes bilinéaires symétriques. On considère l’application $\Phi: E \to E^*$ définie par $\Phi(y)(x) = f(x,y)$. On montre que la matrice de cette application $\Phi$ par rapport à une base $\beta$ de $E$ et à sa base duale $\beta^*$ est précisément la matrice conjuguée $\overline{A}$ de la matrice $A$ de la forme $f$.
La forme $f$ est non dégénérée si et seulement si $\Phi$ est injective. En dimension finie, cela équivaut à $\Phi$ bijective, ce qui est vrai si et seulement si sa matrice $\overline{A}$ est inversible. Or, $\det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}$. La condition $\det(\overline{A}) \neq 0$ est donc équivalente à $\det(A) \neq 0$.