Orthogonalité
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $f$ une forme hermitienne sur $E$. Soit $A$ une partie non vide de $E$. On définit l’orthogonal de A, noté $A^\perp$, comme l’ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de $A$ : $$ y \in A^\perp \iff \forall x \in A, f(x, y) = 0 $$
Remarque
- Pour toute partie $A$, son orthogonal $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Si $A \subseteq B$, alors $B^\perp \subseteq A^\perp$.
- $A^\perp = (Vect(A))^\perp$.
- L’orthogonal de l’espace entier, $E^\perp$, est appelé le noyau de la forme $f$.
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ une forme hermitienne sur $E$. Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a :
- $\dim(F) + \dim(F^\perp) \ge \dim(E)$.
- Si de plus $f$ est non dégénérée, alors on a l’égalité : $$ \dim(F) + \dim(F^\perp) = \dim(E) $$
Bases Orthogonales
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme hermitienne sur $E$. Une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ est dite orthogonale pour la forme $f$ si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux : $$ \forall i \neq j, \quad f(e_i, e_j) = 0 $$
Remarque
Dans une base orthogonale, la matrice d’une forme hermitienne est diagonale. Puisque la matrice est hermitienne ($A^*=A$), ses éléments diagonaux sont réels.
Pour un vecteur $x = \sum x_i e_i$, l’expression de $f(x,x)$ devient une somme de carrés de modules pondérée par des réels : $$ f(x,x) = \sum_{i=1}^n f(e_i, e_i) |x_i|^2 $$
Toute forme hermitienne sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base orthogonale.
Démonstration
La démonstration est analogue à celle du cas des formes bilinéaires symétriques et se fait par récurrence sur la dimension $n$ de l’espace.
Si $f$ est la forme nulle, toute base est orthogonale. Sinon, il existe un vecteur $e_1$ tel que $f(e_1, e_1) \neq 0$. Ce vecteur est non isotrope. Le sous-espace $F=Vect(e_1)$ est non isotrope, ce qui garantit la décomposition en somme directe $E = F \oplus F^\perp$. On applique alors l’hypothèse de récurrence au sous-espace $F^\perp$ de dimension $n-1$ pour trouver une base orthogonale $(e_2, \dots, e_n)$ de ce dernier. La famille $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est alors une base orthogonale de $E$.