Parties Compactes et Ensembles Fermés
Le lien entre la compacité et la fermeture est l’un des piliers de la topologie. Dans un cadre général, ces deux notions sont distinctes, mais elles deviennent intimement liées lorsque l’on ajoute une hypothèse de séparation (Hausdorff).
Dans un espace topologique séparé (de Hausdorff), toute partie compacte est fermée.
Ce résultat est fondamental. Il nous dit que dans les espaces « usuels » (qui sont presque tous séparés), la compacité est une propriété plus forte que la fermeture. Si un ensemble est compact, il est automatiquement fermé.
La réciproque est-elle vraie ?
La réciproque est fausse en général. Un ensemble fermé dans un espace séparé n’est pas nécessairement compact. Pour obtenir la compacité, il manque souvent une condition de « bornitude ».
Exemples dans $\mathbb{R}$
- L’ensemble $\mathbb{R}$ est fermé dans lui-même, et $\mathbb{R}$ est un espace séparé. Cependant, $\mathbb{R}$ n’est pas compact. Il est non borné.
- L’ensemble $\mathbb{Z}$ est fermé dans $\mathbb{R}$. Il n’est pas compact car il n’est pas borné.
Toute partie fermée d’un espace compact est elle-même compacte.
Ce deuxième théorème est également très important. Il nous dit que si nous sommes déjà dans un « bon » espace (compact), alors les parties fermées de cet espace sont aussi des « bons » ensembles (compacts).
Exemple
L’ensemble de Cantor est construit en retirant des intervalles ouverts de $[0, 1]$. C’est donc un ensemble fermé (car son complémentaire dans $[0, 1]$ est une union d’ouverts).
Puisque l’ensemble de Cantor est une partie fermée de l’espace compact $[0, 1]$, il est lui-même compact.