Applications du Théorème de Baire
Le théorème de Baire, bien que d’apparence abstraite, est un outil d’une puissance remarquable en analyse et en topologie. Il permet de prouver des résultats d’existence profonds en montrant que certains ensembles sont « gros » d’un point de vue topologique. Son principe est qu’un espace complet ne peut pas être « maigre ».
Dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Une formulation équivalente est qu’un espace métrique complet n’est pas une union dénombrable de fermés d’intérieur vide.
Application 1 : $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable
Le théorème de Baire offre une preuve topologique élégante de la non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$.
- On sait que $\mathbb{R}$ est un espace métrique complet.
- Supposons par l’absurde que $\mathbb{R}$ est dénombrable, i.e. $\mathbb{R} = \{x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\}$.
- Chaque singleton $\{x_n\}$ est un fermé d’intérieur vide.
- On pourrait alors écrire $\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x_n\}$, ce qui présenterait $\mathbb{R}$ comme une union dénombrable de fermés d’intérieur vide.
- Cela contredit le théorème de Baire. Donc, $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable.
Application 2 : Existence de Fonctions Continues Nulle Part Dérivables
Historiquement, les mathématiciens pensaient que toute fonction continue était dérivable sauf en quelques points isolés. Le théorème de Baire permet de montrer que, d’un point de vue topologique, la « plupart » des fonctions continues ne sont en fait dérivables nulle part !
- On considère l’espace $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[0, 1]$, muni de la norme de la convergence uniforme. C’est un espace de Banach, donc complet.
- Pour chaque entier $n > 0$, on définit l’ensemble $F_n$ des fonctions $f$ pour lesquelles il existe un point $x \in [0, 1]$ où le taux d’accroissement est borné par $n$.
- On montre que chaque $F_n$ est un fermé d’intérieur vide.
- L’ensemble des fonctions qui sont dérivables en au moins un point est inclus dans l’union des $F_n$.
- Par le théorème de Baire, cette union est un ensemble « maigre ». Son complémentaire, l’ensemble des fonctions continues nulle part dérivables, est donc dense.
Application 3 : Le Principe de la Borne Uniforme
En analyse fonctionnelle, le théorème de Baire est la clé pour démontrer le théorème de Banach-Steinhaus, aussi appelé principe de la borne uniforme.
Soit $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel normé. Soit $(u_i)_{i \in I}$ une famille d’applications linéaires continues de $E$ dans $F$.
Si pour tout $x \in E$, la famille des normes $(\|u_i(x)\|)_{i \in I}$ est bornée, alors la famille des normes d’opérateurs $(\|u_i\|)_{i \in I}$ est elle-même bornée.
Ce résultat puissant garantit qu’une « convergence simple » implique une « convergence uniforme » en norme.