Caractérisation des Espaces Non Connexes
Pour prouver qu’un espace est connexe, on montre qu’il n’est pas « non connexe ». Il est donc essentiel de disposer de plusieurs manières équivalentes de décrire ce qu’est un espace non connexe. Ces différentes caractérisations sont des outils précieux pour les démonstrations.
Théorème : Caractérisations Équivalentes
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $X$ est non connexe. (Définition de base)
-
Il existe une partition de $X$ en deux ensembles ouverts non vides.
(C’est la définition reformulée.) -
Il existe une partition de $X$ en deux ensembles fermés non vides.
(Car si $X = U \cup V$ avec $U, V$ ouverts disjoints, alors $U = V^c$ et $V = U^c$, donc $U$ et $V$ sont aussi fermés.) -
Il existe une partie propre non vide de $X$ qui est à la fois ouverte et fermée (un « clopen »).
(Si $X = U \cup V$, alors $U$ est une telle partie.) -
Il existe une fonction continue et surjective de $X$ dans l’espace discret $\{0, 1\}$.
(Si $X = U \cup V$, la fonction qui vaut 0 sur $U$ and 1 sur $V$ est une telle fonction.)
Application sur un Exemple
Considérons l’espace $X = ]-1, 0[ \cup ]0, 1[$, muni de la topologie induite par $\mathbb{R}$. Montrons qu’il est non connexe en utilisant les différentes caractérisations.
- Partition par des ouverts : $X$ est l’union des deux ouverts disjoints et non vides $U = ]-1, 0[$ et $V = ]0, 1[$. Donc $X$ est non connexe.
- Partition par des fermés : Dans $X$, l’ensemble $U$ est le complémentaire de $V$. Comme $V$ est ouvert dans $X$, $U$ est fermé dans $X$. De même, $V$ est fermé dans $X$. Nous avons donc une partition par des fermés non vides.
- Existence d’un « clopen » : L’ensemble $U = ]-1, 0[$ est une partie propre non vide de $X$. Il est ouvert par définition de la topologie de $X$, et il est fermé comme nous venons de le voir. C’est donc un « clopen ».