Lien entre connexité et arcs

Lien entre Connexité et Connexité par Arcs

Les notions de connexité et de connexité par arcs sont intimement liées. La connexité par arcs est une condition plus forte, plus « géométrique », qui implique la connexité. Cependant, l’implication inverse n’est pas toujours vraie, ce qui mène à des exemples intéressants en topologie.

Démonstration par l’absurde

Soit $X$ un espace connexe par arcs. Supposons que $X$ ne soit pas connexe.

1. Par définition d’un espace non connexe, il existe deux ouverts non vides et disjoints, $U$ and $V$, tels que $X = U \cup V$.
2. Puisque $U$ et $V$ sont non vides, choisissons un point $a \in U$ et un point $b \in V$.
3. Comme $X$ est connexe par arcs, il existe un chemin continu $\gamma: [0, 1] \to X$ tel que $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$.
4. L’image du chemin, $C = \gamma([0, 1])$, est l’image d’un connexe (l’intervalle $[0, 1]$) par une application continue. $C$ est donc une partie connexe de $X$.
5. Considérons les ensembles $C \cap U$ et $C \cap V$. Ce sont des ouverts de $C$ (pour la topologie induite).
   • $a \in C \cap U$, donc $C \cap U \neq \emptyset$.
   • $b \in C \cap V$, donc $C \cap V \neq \emptyset$.
   • $(C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap (U \cap V) = C \cap \emptyset = \emptyset$.
   • $(C \cap U) \cup (C \cap V) = C \cap (U \cup V) = C \cap X = C$.
6. Nous avons écrit le connexe $C$ comme une union de deux ouverts non vides et disjoints. Cela signifie que $C$ n’est pas connexe, ce qui est une contradiction.

Conclusion : L’hypothèse de départ est fausse. L’espace $X$ est donc connexe.

La Réciproque est Fausse

Un espace connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs.

Contre-Exemple : La Courbe du Topologue

L’exemple le plus célèbre est la courbe du topologue (ou sinus du topologue). C’est le sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$ défini par : $$ S = \left\{ \left(x, \sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mid x \in ]0, 1] \right\} \cup \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \} $$

• Cet espace est connexe. La première partie (le graphe de la fonction sinus) est l’image continue de l’intervalle connexe $]0, 1]$, elle est donc connexe. L’ensemble $S$ est l’adhérence de cette partie connexe, et l’adhérence d’un connexe est toujours un connexe.
• Cet espace n’est pas connexe par arcs. Il est impossible de trouver un chemin continu reliant un point du segment vertical (par exemple $(0, 0)$) à un point de la courbe oscillante (par exemple $(1/\pi, 0)$). Toute tentative de créer un tel chemin « exploserait » en oscillations infinies à l’approche de l’axe des ordonnées.