Les Composantes Connexes d’un Espace
Lorsqu’un espace topologique n’est pas connexe, il est naturel de chercher à le décomposer en ses « morceaux » connexes les plus grands possibles. Ces morceaux sont appelés les composantes connexes.
Soit $X$ un espace topologique et $x \in X$.
La composante connexe de $x$ est le plus grand sous-ensemble connexe de $X$ qui contient $x$. C’est l’union de toutes les parties connexes de $X$ contenant $x$.
On la note souvent $C(x)$.
Les composantes connexes d’un espace topologique $X$ forment une partition de $X$.
Cela signifie que :
- Elles sont non vides et leur union recouvre tout l’espace $X$.
- Deux composantes connexes distinctes sont disjointes.
Ce théorème est très puissant : il nous assure que tout espace topologique peut être vu comme une collection disjointe de « blocs » connexes. Le nombre de composantes connexes (qui peut être fini ou infini) est un invariant topologique important.
Exemples
- Si $X$ est connexe : Il n’a qu’une seule composante connexe, qui est $X$ lui-même.
- Pour $X = [0, 1] \cup [2, 3]$ : Il y a deux composantes connexes. La composante connexe de tout point de $[0, 1]$ est $[0, 1]$, et la composante connexe de tout point de $[2, 3]$ est $[2, 3]$.
- Pour l’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels : Les seules parties connexes de $\mathbb{Q}$ sont les singletons. La composante connexe de chaque rationnel $q$ est donc $\{q\}$. L’espace $\mathbb{Q}$ a une infinité dénombrable de composantes connexes. On dit qu’il est totalement discontinu.
- Pour l’ensemble de Cantor : C’est un autre exemple d’espace totalement discontinu, où chaque point est sa propre composante connexe.