Les Parties Connexes de l’Ensemble $\mathbb{R}$
Alors que la notion de connexité est assez abstraite dans un espace topologique général, elle admet une caractérisation remarquablement simple et intuitive dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle. Ce résultat est l’une des pierres angulaires de l’analyse réelle.
Théorème Fondamental
Une partie de $\mathbb{R}$ est connexe si et seulement si c’est un intervalle.
Qu’est-ce qu’un Intervalle ?
Rappelons qu’une partie $I \subseteq \mathbb{R}$ est un intervalle si pour tous $x, y$ dans $I$ avec $x < y$, tout élément $z$ tel que $x < z < y$ est également dans $I$.
Cela inclut toutes les formes possibles :
- Les intervalles bornés : $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, b[$, $]a, b]$.
- Les intervalles non bornés (demi-droites) : $[a, +\infty[$, $]a, +\infty[$, $]-\infty, b]$, $]-\infty, b[$.
- L’ensemble $\mathbb{R}$ tout entier : $]-\infty, +\infty[$.
- Les singletons $[a, a] = \{a\}$ et l’ensemble vide $\emptyset$.
Exemples et Conséquences
- L’ensemble $[0, 1] \cup [2, 3]$ n’est pas connexe. Ce n’est pas un intervalle. Par exemple, $1$ et $2$ sont dans l’ensemble, mais $1.5$ n’y est pas.
- L’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels n’est pas connexe. Ce n’est pas un intervalle. Par exemple, $1$ et $2$ sont rationnels, mais $\sqrt{2} \approx 1.414$ qui est entre les deux ne l’est pas.
- L’ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers n’est pas connexe. Ce n’est pas un intervalle.
- Conséquence pour le TVI : Ce théorème est la raison pour laquelle l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L’image d’un connexe (l’intervalle de départ) est un connexe (l’ensemble d’arrivée), et les seuls connexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.