Notion d’Espaces Localement Connexes
La connexité locale est une propriété topologique qui s’intéresse au comportement d’un espace au voisinage de chaque point. Un espace peut être globalement connexe (d’un seul tenant) sans pour autant l’être « joliment » autour de chacun de ses points. La connexité locale garantit cette « bonne » structure locale.
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit localement connexe si pour tout point $x \in X$, tout voisinage de $x$ contient un voisinage connexe de $x$.
De manière équivalente, un espace est localement connexe s’il admet une base de topologie formée d’ensembles connexes.
Lien avec la Connexité
Il est crucial de ne pas confondre les deux notions :
- Un espace peut être connexe sans être localement connexe.
- Un espace peut être localement connexe sans être connexe.
Ce sont deux propriétés indépendantes.
Dans un espace localement connexe, les composantes connexes sont des ensembles ouverts.
Exemples et Contre-exemples
- $\mathbb{R}^n$ est localement connexe. Autour de chaque point, on peut trouver des boules ouvertes (qui sont connexes) aussi petites que l’on veut. Comme $\mathbb{R}^n$ est aussi connexe, c’est un exemple d’espace connexe et localement connexe.
- Un espace discret est localement connexe. Chaque singleton $\{x\}$ est un voisinage de $x$ qui est connexe. Cependant, si l’espace a plus d’un point, il n’est pas connexe. C’est un exemple d’espace localement connexe mais non connexe.
- La courbe du topologue est connexe mais pas localement connexe. Au voisinage des points sur le segment vertical (par exemple en $(0,0)$), il est impossible de trouver de petits voisinages qui soient d’un seul tenant (connexes).
- $\mathbb{Q}$ n’est ni connexe, ni localement connexe. Autour de chaque rationnel, tout voisinage contient des irrationnels et est donc « troué », il ne peut pas être connexe.