Définition d’un Espace Métrique
Un espace métrique est un concept fondamental qui généralise la notion de « distance » entre des points. C’est un type particulier d’espace topologique où la topologie est construite à partir d’une fonction distance, appelée « métrique ». Cela confère à l’espace une structure géométrique riche et permet de définir des notions comme les boules, la convergence des suites de manière très intuitive.
Soit $X$ un ensemble non vide. Une distance (ou métrique) sur $X$ est une application $d: X \times X \to \mathbb{R}_+$ qui à tout couple de points $(x, y)$ associe un nombre réel positif $d(x, y)$ et qui vérifie les quatre axiomes suivants :
- Positivité : $\forall (x, y) \in X^2, \ d(x, y) \ge 0$.
- Séparation (ou identité des indiscernables) : $\forall (x, y) \in X^2, \ d(x, y) = 0 \iff x = y$.
- Symétrie : $\forall (x, y) \in X^2, \ d(x, y) = d(y, x)$.
- Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in X^3, \ d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.
Un espace métrique est un couple $(X, d)$ où $X$ est un ensemble et $d$ est une distance sur $X$.
Exemples Fondamentaux
- $\mathbb{R}$ et la distance usuelle : $(\mathbb{R}, d)$ où $d(x, y) = |x – y|$. C’est l’exemple le plus simple et le plus important.
- $\mathbb{R}^n$ et la distance euclidienne : $(\mathbb{R}^n, d_2)$ où pour $x=(x_1, \dots, x_n)$ et $y=(y_1, \dots, y_n)$, $$d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – y_i)^2}$$
- La distance discrète : Sur n’importe quel ensemble non vide $X$, on peut définir la distance discrète : $$d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ 1 & \text{si } x \neq y \end{cases}$$ C’est une métrique qui induit la topologie discrète.