Définition des Suites de Cauchy
La notion de suite de Cauchy est une idée centrale en analyse, qui permet de caractériser la convergence d’une suite sans faire référence à sa limite potentielle. Intuitivement, une suite est de Cauchy si ses termes se rapprochent infiniment les uns des autres à mesure que la suite avance.
Soit $(X, d)$ un espace métrique. Une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $X$ est une suite de Cauchy si pour tout réel $\epsilon > 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ à partir duquel la distance entre n’importe quels deux termes de la suite est inférieure à $\epsilon$.
$$ \forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall p, q \ge N, \quad d(x_p, x_q) < \epsilon $$
Différence avec la Convergence
La définition de la convergence simple compare les termes de la suite à une limite fixe $l$ : $d(x_n, l) < \epsilon$. La définition de Cauchy compare les termes de la suite entre eux : $d(x_p, x_q) < \epsilon$.
Dans tout espace métrique, toute suite convergente est une suite de Cauchy.
La réciproque, cependant, est fausse en général. Une suite de Cauchy n’est pas nécessairement convergente. Cela dépend de l’espace dans lequel on se trouve.
Exemples
- Dans $\mathbb{R}$ : La suite $(1/n)_{n \ge 1}$ est de Cauchy. Elle est également convergente (vers 0). Dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy est convergente.
- Dans $X = ]0, +\infty[$ : La suite $(1/n)_{n \ge 1}$ est de Cauchy. Cependant, elle ne converge pas dans $X$, car sa limite est 0, qui n’appartient pas à $X$.
- Dans $\mathbb{Q}$ : On peut construire une suite de nombres rationnels qui converge vers $\sqrt{2}$ (par exemple, les approximations décimales : 1, 1.4, 1.41, 1.414, …). Cette suite est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$. Cependant, elle ne converge pas dans $\mathbb{Q}$, car sa limite $\sqrt{2}$ est irrationnelle.