Le Théorème des Fermés Emboîtés
Le théorème des fermés emboîtés (ou théorème d’intersection de Cantor) est une conséquence directe et très imagée de la complétude. Il affirme que si l’on considère une suite de « poupées russes » fermées qui rapetissent de plus en plus dans un espace complet, alors il existe un unique point commun à toutes ces poupées.
Soit $(X, d)$ un espace métrique complet. Soit $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de parties fermées, non vides et décroissante pour l’inclusion ($F_{n+1} \subseteq F_n$).
Si le diamètre de ces ensembles tend vers 0, c’est-à-dire $\lim_{n \to \infty} \text{diam}(F_n) = 0$, alors leur intersection est un singleton (elle contient un unique point). $$ \bigcap_{n=0}^{\infty} F_n = \{l\} $$
Les Hypothèses sont Cruciales
Chaque condition du théorème est indispensable, comme le montrent les contre-exemples suivants :
- Si l’espace n’est pas complet : Dans $\mathbb{Q}$, considérons $F_n = [\sqrt{2} – 1/n, \sqrt{2} + 1/n] \cap \mathbb{Q}$. Ce sont des fermés emboîtés dont le diamètre tend vers 0, mais leur intersection dans $\mathbb{Q}$ est vide.
- Si les parties ne sont pas fermées : Dans $\mathbb{R}$, considérons $F_n = ]0, 1/n]$. Ce sont des ensembles non vides emboîtés, de diamètre tendant vers 0, mais leur intersection est vide.
- Si le diamètre ne tend pas vers 0 : Dans $\mathbb{R}$, considérons $F_n = [n, +\infty[$. Ce sont des fermés emboîtés non vides, mais leur intersection est vide.
Idée de la Démonstration
- On construit une suite $(x_n)$ en choisissant un point $x_n$ dans chaque fermé $F_n$.
- Grâce à la condition sur le diamètre qui tend vers 0, on montre que la suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy.
- Puisque l’espace $X$ est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite $l \in X$.
- On montre que cette limite $l$ appartient à tous les $F_n$ (car ce sont des fermés). Elle appartient donc à leur intersection.
- Enfin, la condition sur le diamètre assure que l’intersection ne peut contenir plus d’un point, garantissant l’unicité.