Distances Usuelles sur $\mathbb{R}^n$
Bien que la distance euclidienne soit la plus intuitive, elle n’est pas la seule manière de mesurer la « proximité » entre deux points dans $\mathbb{R}^n$. Il existe plusieurs autres distances, chacune correspondant à une norme différente, qui sont très utiles en analyse et en optimisation.
Soient $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$ deux points de $\mathbb{R}^n$.
C’est la distance « à vol d’oiseau », celle que nous utilisons intuitivement. Elle est dérivée de la norme euclidienne $\| \cdot \|_2$. $$ d_2(x, y) = \|x-y\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – y_i)^2} $$ Dans $\mathbb{R}^2$, la boule unité pour cette distance est le disque usuel.
Aussi appelée « distance du taxi », elle mesure la distance en se déplaçant uniquement le long des axes, comme dans une ville aux rues perpendiculaires. Elle est dérivée de la norme 1, $\| \cdot \|_1$. $$ d_1(x, y) = \|x-y\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i – y_i| $$ Dans $\mathbb{R}^2$, la boule unité pour cette distance est un carré dont les sommets sont sur les axes de coordonnées.
Cette distance correspond au maximum des distances le long de chaque coordonnée. Elle est dérivée de la norme infinie, $\| \cdot \|_\infty$. $$ d_\infty(x, y) = \|x-y\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i – y_i| $$ Dans $\mathbb{R}^2$, la boule unité pour cette distance est un carré dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Par conséquent, toutes ces distances ($d_1, d_2, d_\infty$, etc.) engendrent la même topologie sur $\mathbb{R}^n$ : la topologie usuelle.
Cela signifie qu’un ensemble est ouvert pour l’une de ces distances si et seulement s’il est ouvert pour toutes les autres. Une suite converge pour $d_1$ si et seulement si elle converge pour $d_2$.