Complétion d’un espace métrique

Complétion d’un Espace Métrique

Nous avons vu que certains espaces métriques, comme $\mathbb{Q}$, ne sont pas complets : ils ont des « trous » qui correspondent aux limites de certaines suites de Cauchy. La procédure de complétion est une construction universelle qui permet de « boucher les trous » d’un espace métrique en lui adjoignant les points limites manquants.

Définition : Complétion

Soit $(X, d)$ un espace métrique. Une complétion de $X$ est un couple $(\tilde{X}, j)$ où :

$(\tilde{X}, \tilde{d})$ est un espace métrique complet.
$j: X \to \tilde{X}$ est une isométrie.
L’image $j(X)$ est une partie dense de $\tilde{X}$.

L’espace $\tilde{X}$ est appelé l’espace complété de $X$.

Théorème d’Existence et d’Unicité

Tout espace métrique $(X, d)$ admet une complétion. De plus, cette complétion est unique à isométrie près.

Idée de la Construction

La construction formelle est assez technique, mais l’idée est très naturelle. Les « trous » de l’espace $X$ correspondent aux suites de Cauchy qui ne convergent pas. On va donc construire le nouvel espace $\tilde{X}$ en ajoutant un point pour chacune de ces suites.

On considère l’ensemble de toutes les suites de Cauchy de $X$.
On définit une relation d’équivalence : deux suites de Cauchy sont équivalentes si leur « distance » tend vers 0. Chaque classe d’équivalence représentera un point du nouvel espace (un ancien point ou un « trou »).
L’espace complété $\tilde{X}$ est l’ensemble de ces classes d’équivalence.
On munit $\tilde{X}$ d’une distance appropriée et on montre qu’il est complet.

Exemple Fondamental : $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$

L’exemple le plus important est la construction de l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ à partir de l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$.

L’espace $(\mathbb{Q}, | \cdot |)$ n’est pas complet.
L’espace complété de $\mathbb{Q}$ est l’espace des nombres réels $\mathbb{R}$.
Les points que l’on « ajoute » à $\mathbb{Q}$ pour obtenir $\mathbb{R}$ sont précisément les nombres irrationnels. Chaque nombre irrationnel peut être vu comme la limite d’une suite de Cauchy de nombres rationnels.