Définition d’une Application Contractante
Une application contractante est une fonction qui, appliquée à deux points quelconques d’un espace, réduit la distance qui les sépare d’un facteur constant. C’est une condition de régularité très forte, plus forte que la continuité, qui est au cœur du théorème du point fixe de Banach.
Soit $(X, d)$ un espace métrique. Une application $f: X \to X$ est dite contractante (ou une contraction) s’il existe une constante réelle $k$ telle que $0 \le k < 1$ et qui vérifie : $$ \forall (x, y) \in X^2, \quad d(f(x), f(y)) \le k \cdot d(x, y) $$ La constante $k$ est appelée le rapport de contraction de $f$.
Points Clés de la Définition
- L’espace de départ et d’arrivée est le même : La fonction $f$ agit sur un espace $X$ et renvoie des valeurs dans ce même espace $X$.
- Le rapport $k$ doit être strictement inférieur à 1 : C’est la condition la plus importante. Si $k=1$, la fonction est seulement dite 1-lipschitzienne (ou non-expansive) et le théorème du point fixe ne s’applique plus nécessairement.
- La propriété est globale : L’inégalité doit être vraie pour n’importe quelle paire de points $(x, y)$ dans l’espace $X$.
Toute application contractante est uniformément continue, et donc continue.
Exemples et Contre-exemples
- Exemple : Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, on a : $$ |f(x) – f(y)| = \left|\left(\frac{1}{2}x + 1\right) – \left(\frac{1}{2}y + 1\right)\right| = \left|\frac{1}{2}(x – y)\right| = \frac{1}{2}|x – y| $$ La fonction est donc contractante avec un rapport $k = 1/2$.
- Contre-exemple 1 : Soit $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x + 1$. $|g(x) – g(y)| = |(x+1) – (y+1)| = |x-y|$. Ici $k=1$, la fonction n’est pas contractante. Elle n’admet d’ailleurs aucun point fixe.
- Contre-exemple 2 : Soit $h: [1, +\infty[ \to [1, +\infty[$ définie par $h(x) = x + 1/x$. Sa dérivée $h'(x) = 1 – 1/x^2$ est en valeur absolue strictement inférieure à 1, mais peut être arbitrairement proche de 1. On ne peut pas trouver un $k < 1$ global. Cette fonction n'est pas contractante et n'a pas de point fixe.