Le Théorème du Point Fixe de Brouwer
Le théorème du point fixe de Brouwer est un résultat majeur de la topologie, radicalement différent de celui de Banach. Il ne repose pas sur une notion de distance ou de contraction, mais sur des propriétés topologiques profondes de continuité et de compacité. Il affirme que toute application continue d’un compact convexe dans lui-même doit forcément laisser au moins un point inchangé.
Soit $C$ une partie compacte et convexe non vide de $\mathbb{R}^n$.
Toute application continue $f: C \to C$ admet au moins un point fixe.
C’est-à-dire, il existe au moins un point $x^* \in C$ tel que $f(x^*) = x^*$.
Comparaison avec le Théorème de Banach
Les deux théorèmes garantissent l’existence d’un point fixe, mais leurs hypothèses et conclusions sont très différentes :
| Caractéristique | Théorème de Banach | Théorème de Brouwer |
|---|---|---|
| Hypothèse sur l’espace | Métrique complet | Compact convexe de $\mathbb{R}^n$ |
| Hypothèse sur la fonction | Contractante ($k < 1$) | Simplement continue |
| Conclusion sur le point fixe | Existence et unicité | Existence (non-unicité) |
| Méthode de recherche | Constructive (approximations) | Non constructive |
Interprétations Intuitives
- La tasse de café : Si vous remuez le contenu d’une tasse de café de manière continue (sans éclabousser), il y a forcément un point du liquide qui se retrouve exactement à la même position qu’au départ.
- La carte froissée : Si vous prenez une carte géographique d’un pays, que vous la froissez (sans la déchirer) et que vous la posez sur le sol de ce même pays, il y a au moins un point sur la carte qui se trouve exactement au-dessus du lieu qu’il représente.
La preuve du théorème de Brouwer est non triviale et fait généralement appel à des outils de topologie algébrique (comme le groupe d’homologie).