La Condition de Complétude pour le Théorème de Banach

La Condition de Complétude pour le Théorème de Banach

Le théorème du point fixe de Banach repose sur deux piliers : le caractère contractant de la fonction et la complétude de l’espace métrique. Si la contraction assure que la suite des itérés « se resserre » sur elle-même, c’est la complétude qui garantit que cette suite a bien une destination, un point limite, à l’intérieur de l’espace.

Pourquoi la Complétude est-elle Indispensable ?

La démonstration du théorème de Banach se base sur la construction de la suite des approximations successives : $x_{n+1} = f(x_n)$.

1. La première étape de la preuve consiste à montrer que si $f$ est contractante, alors la suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy. Cette partie de la preuve ne dépend que du caractère contractant de $f$.
2. La deuxième étape est cruciale : on affirme que cette suite de Cauchy converge vers une limite $l$. C’est exactement à ce moment que l’on utilise l’hypothèse de complétude. Par définition, un espace complet est un espace où toute suite de Cauchy converge.

Sans la complétude, la suite $(x_n)$ serait bien une suite de Cauchy, mais elle pourrait « converger » vers un « trou » de l’espace, c’est-à-dire une limite qui n’appartient pas à $X$. Dans ce cas, il n’y aurait pas de point fixe dans $X$.

Contre-Exemple : Espace non complet

Considérons l’espace métrique $X = \mathbb{Q}$ (l’ensemble des rationnels), qui n’est pas complet. Soit l’équation $x^2 = 2$.

• On cherche un point fixe de la fonction $f(x) = x – \frac{1}{2}(x^2 – 2) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$. C’est une des itérations de la méthode de Newton.
• On peut montrer que pour $x$ proche de $\sqrt{2}$, cette fonction est contractante sur un intervalle de rationnels. Par exemple, sur $X = [1, 2] \cap \mathbb{Q}$, $f$ est bien une contraction qui envoie $X$ dans $X$.
• La suite des itérés $x_{n+1} = f(x_n)$ est une suite de Cauchy de nombres rationnels. Par exemple, en partant de $x_0 = 1$, on obtient $x_1 = 1.5$, $x_2 = 1.4166…$, etc.
• Cependant, cette suite ne converge pas dans $\mathbb{Q}$. Sa limite est $\sqrt{2}$, qui est un nombre irrationnel.
• Conclusion : Bien que la fonction soit contractante, l’absence de complétude de l’espace $\mathbb{Q}$ empêche l’existence d’un point fixe dans cet espace.