Unicité du Point Fixe
Une conclusion aussi importante que l’existence du point fixe dans le théorème de Banach est son unicité. Cette propriété découle directement et simplement de l’hypothèse de contraction, et ne nécessite même pas que l’espace soit complet.
Soit $(X, d)$ un espace métrique et $f: X \to X$ une application contractante. Alors $f$ admet au plus un point fixe.
Démonstration par l’absurde
Supposons que $f$ admette deux points fixes distincts, que nous noterons $l_1$ et $l_2$, avec $l_1 \neq l_2$.
- Utilisation de la définition du point fixe : Par hypothèse, nous avons : $$ f(l_1) = l_1 \quad \text{et} \quad f(l_2) = l_2 $$
- Utilisation de la définition de la contraction : Puisque $f$ est contractante, il existe une constante $k \in [0, 1[$ telle que pour tous points $x, y \in X$, on a $d(f(x), f(y)) \le k \cdot d(x, y)$. Appliquons cette inégalité à nos deux points fixes $l_1$ et $l_2$ : $$ d(f(l_1), f(l_2)) \le k \cdot d(l_1, l_2) $$
- Mise en évidence de la contradiction : En utilisant le fait que $f(l_1) = l_1$ et $f(l_2) = l_2$, on peut réécrire l’inégalité précédente : $$ d(l_1, l_2) \le k \cdot d(l_1, l_2) $$ Puisque $l_1 \neq l_2$, la distance $d(l_1, l_2)$ est un nombre réel strictement positif. Nous pouvons donc diviser les deux côtés de l’inégalité par $d(l_1, l_2)$ sans changer le sens de l’inégalité : $$ 1 \le k $$
Conclusion : Nous arrivons à la conclusion que $1 \le k$. Or, par définition d’une application contractante, le rapport de contraction $k$ doit être strictement inférieur à 1. C’est une contradiction.
L’hypothèse de départ (l’existence de deux points fixes distincts) est donc fausse. Si un point fixe existe, il est nécessairement unique.