Définition des Normes Équivalentes
Sur un même espace vectoriel, il est souvent possible de définir plusieurs normes différentes. La notion de normes équivalentes permet de déterminer quand ces différentes normes sont « compatibles », c’est-à-dire quand elles décrivent les mêmes notions de proximité et de convergence.
Soit $E$ un espace vectoriel. Deux normes, $\| \cdot \|_a$ et $\| \cdot \|_b$, définies sur $E$ sont dites équivalentes s’il existe deux constantes réelles strictement positives, $\alpha$ et $\beta$, telles que pour tout vecteur $x \in E$ : $$ \alpha \|x\|_a \le \|x\|_b \le \beta \|x\|_a $$ Cette double inégalité signifie que les deux normes se contrôlent mutuellement : si un vecteur est « petit » pour une norme, il l’est aussi pour l’autre.
Deux normes sur un espace vectoriel $E$ sont équivalentes si et seulement si elles induisent la même topologie sur $E$.
Que signifie « induire la même topologie » ?
Cela signifie que les deux normes génèrent exactement les mêmes ensembles ouverts. En conséquence :
- Une partie est ouverte pour la norme $\| \cdot \|_a$ si et seulement si elle est ouverte pour la norme $\| \cdot \|_b$.
- Une suite $(x_n)$ converge vers $l$ pour la norme $\| \cdot \|_a$ si et seulement si elle converge vers $l$ pour la norme $\| \cdot \|_b$.
Ainsi, du point de vue de l’analyse (limites, continuité, compacité), travailler avec l’une ou l’autre des normes est strictement identique.
Exemple sur $\mathbb{R}^2$
Les normes $\| \cdot \|_1$, $\| \cdot \|_2$ et $\| \cdot \|_\infty$ sont toutes équivalentes sur $\mathbb{R}^n$. Pour $x \in \mathbb{R}^2$, on a par exemple les relations : $$ \|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{2} \|x\|_\infty $$ $$ \|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{2} \|x\|_2 $$ C’est pour cela que les boules ouvertes pour ces différentes normes (un carré, un disque, un autre carré) peuvent s’inscrire les unes dans les autres, générant ainsi les mêmes voisinages.