Équivalence des Normes en Dimension Finie
C’est l’un des théorèmes les plus importants concernant les espaces vectoriels normés. Il affirme que, d’un point de vue topologique, il n’existe qu’une seule structure possible sur un espace vectoriel de dimension finie. Peu importe la norme que l’on choisit, les notions de convergence, de continuité et d’ouverts seront toujours les mêmes.
Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Conséquences Majeures
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.
- Topologie unique : Toutes les normes sur $E$ induisent la même topologie. On peut donc parler de « la » topologie usuelle d’un EVN de dimension finie sans avoir à préciser la norme.
- Analyse simplifiée : Pour étudier la convergence d’une suite ou la continuité d’une fonction, on peut choisir la norme la plus simple pour les calculs (souvent la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$). Le résultat sera valable pour toutes les autres normes.
- Complétude : Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet (c’est un espace de Banach).
- Compacité : Les parties compactes d’un EVN de dimension finie sont exactement les parties fermées et bornées (généralisation du théorème de Heine-Borel).
Le Contre-Exemple de la Dimension Infinie
Ce théorème est spectaculairement faux en dimension infinie. C’est ce qui rend l’analyse fonctionnelle (l’étude des espaces de dimension infinie) si riche et complexe.
Considérons l’espace $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[0, 1]$. On peut définir plusieurs normes, par exemple :
- La norme infinie (norme de la convergence uniforme) : $\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|$.
- La norme 1 (norme de la convergence en moyenne) : $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)| \,dt$.
Ces deux normes ne sont pas équivalentes. Pour le voir, considérons la suite de fonctions $(f_n)$ dont le graphe est un pic triangulaire de hauteur 1, centré en $1/2$ et de base $1/n$.
- Pour tout $n$, $\|f_n\|_\infty = 1$. La suite ne tend pas vers 0 pour la norme infinie.
- L’aire du triangle est $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} \times 1 = \frac{1}{2n}$. Donc $\|f_n\|_1 = \frac{1}{2n} \to 0$.
La suite $(f_n)$ converge vers la fonction nulle pour la norme 1, mais pas pour la norme infinie. Les deux normes induisent donc des topologies différentes.