Complétude des Espaces Vectoriels Normés de Dimension Finie
La complétude est une propriété essentielle en analyse, garantissant que les suites de Cauchy convergent. Une conséquence directe et remarquable du théorème d’équivalence des normes est que tout espace de dimension finie est « automatiquement » complet, quelle que soit la norme choisie.
Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un espace complet.
Autrement dit, tout EVN de dimension finie est un espace de Banach.
Idée de la Démonstration
La démonstration s’appuie sur l’équivalence des normes et la complétude connue de $\mathbb{R}^n$.
- Soit $(E, \| \cdot \|)$ un EVN de dimension finie $n$.
- On sait que toutes les normes sur $E$ sont équivalentes. On peut donc choisir de travailler avec une norme simple, par exemple la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$ relative à une base fixée de $E$.
- L’espace $(E, \| \cdot \|_\infty)$ est isométrique à $(\mathbb{R}^n, \| \cdot \|_\infty)$.
- On sait que l’espace $(\mathbb{R}^n, \| \cdot \|_\infty)$ est complet. La complétude est une propriété qui est préservée par isométrie. Donc $(E, \| \cdot \|_\infty)$ est complet.
- Puisque toutes les normes sont équivalentes, la convergence d’une suite de Cauchy pour la norme $\| \cdot \|_\infty$ implique sa convergence pour n’importe quelle autre norme $\| \cdot \|$.
- L’espace $(E, \| \cdot \|)$ est donc complet pour n’importe quelle norme.
Conséquences Pratiques
Ce résultat simplifie grandement l’analyse dans des espaces comme $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$. On n’a jamais besoin de vérifier la complétude ; elle est acquise. Cela garantit que de nombreux théorèmes (comme celui du point fixe de Banach, si la fonction est contractante) s’appliquent directement.
Contre-Exemple en Dimension Infinie
Encore une fois, ce résultat est faux en dimension infinie. La complétude d’un espace doit y être vérifiée au cas par cas.
Considérons $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ l’espace des fonctions continues.
- Muni de la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$, cet espace est complet (c’est un espace de Banach).
- Muni de la norme 1 $\| \cdot \|_1$, cet espace n’est pas complet. On peut construire des suites de Cauchy de fonctions continues qui convergent (pour cette norme) vers une fonction discontinue.
Cela illustre bien que la complétude dépend de la norme choisie en dimension infinie.