Définition d’un Espace de Banach
Un espace de Banach est un concept central en analyse fonctionnelle. Il combine la structure algébrique d’un espace vectoriel avec la structure topologique d’un espace métrique complet. C’est le cadre naturel pour généraliser les grands théorèmes de l’analyse (comme le théorème du point fixe) à des espaces de fonctions.
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé qui est complet pour la distance induite par sa norme.
Les Deux Ingrédients
Pour être un espace de Banach, un ensemble $E$ doit donc posséder deux structures compatibles :
- Une structure d’espace vectoriel normé $(E, \| \cdot \|)$ : On peut additionner les vecteurs, les multiplier par des scalaires, et mesurer leur « longueur » via la norme.
- Une structure d’espace métrique complet $(E, d)$ : La distance $d(x, y) = \|x – y\|$ fait de $E$ un espace où toute suite de Cauchy converge.
La complétude est la propriété clé qui distingue un simple EVN d’un espace de Banach.
Exemples Fondamentaux
- Espaces de dimension finie : Tout espace vectoriel normé de dimension finie, comme $(\mathbb{R}^n, \| \cdot \|_2)$, est un espace de Banach. C’est une conséquence du théorème d’équivalence des normes.
- L’espace $\mathcal{C}([a, b])$ : L’espace des fonctions continues sur un segment $[a, b]$, muni de la norme de la convergence uniforme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|$, est un espace de Banach.
- Les espaces $L^p$ : Pour $p \ge 1$, les espaces $L^p$ des fonctions dont la puissance $p$-ième est intégrable sont des espaces de Banach. Ce sont des objets centraux en théorie de l’intégration et en analyse.
Un Contre-Exemple Important
L’espace $\mathcal{C}([a, b])$ muni de la norme 1, $\|f\|_1 = \int_a^b |f(t)| \,dt$, n’est pas un espace de Banach. Il s’agit bien d’un espace vectoriel normé, mais il n’est pas complet. On peut y trouver des suites de Cauchy de fonctions continues qui convergent vers une fonction discontinue, donc la limite n’est pas dans l’espace.