Le Dual Topologique d’un Espace Vectoriel Normé

Le Dual Topologique d’un Espace Vectoriel Normé

En algèbre linéaire, le dual d’un espace vectoriel $E$ est l’ensemble de toutes les formes linéaires sur $E$. En analyse fonctionnelle, on s’intéresse aux formes linéaires qui sont « bien comportées » par rapport à la topologie de l’espace. Le dual topologique est précisément l’ensemble de ces formes linéaires « régulières ».

On munit cet espace $E’$ de la norme d’opérateur, définie pour toute forme linéaire continue $\phi \in E’$ par : $$\|\phi\|_{E’} = \sup_{x \in E, x \neq 0} \frac{|\phi(x)|}{\|x\|_E} = \sup_{\|x\|_E = 1} |\phi(x)|$$

Lien avec le Dual Algébrique

Le dual algébrique, noté $E^*$, est l’ensemble de toutes les formes linéaires, qu’elles soient continues ou non. Le dual topologique $E’$ est donc toujours un sous-espace vectoriel du dual algébrique ($E’ \subseteq E^*$).

• En dimension finie, toute application linéaire est continue. Les deux notions coïncident donc : $E’ = E^*$. De plus, on sait que $\text{dim}(E’) = \text{dim}(E)$, donc $E$ et son dual sont isomorphes.
• En dimension infinie, il existe des formes linéaires qui ne sont pas continues. Le dual topologique est alors un sous-espace strict du dual algébrique : $E’ \subsetneq E^*$.

Exemple : Le Théorème de Représentation de Riesz

Un des plus beaux résultats d’analyse fonctionnelle concerne le dual des espaces de Hilbert.
Si $H$ est un espace de Hilbert, le théorème de représentation de Riesz affirme que pour toute forme linéaire continue $\phi \in H’$, il existe un unique vecteur $y \in H$ tel que : $$\forall x \in H, \quad \phi(x) = \langle x, y \rangle$$ où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire de $H$. Ce théorème établit une isométrie entre l’espace de Hilbert $H$ et son dual topologique $H’$.