On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, l’unique fonction définie sur $]0, +\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui vérifie les deux conditions suivantes :
- $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$
- $\ln(1) = 0$
La fonction $\ln$ vérifie les propriétés algébriques suivantes pour tous réels $a>0$, $b>0$ et pour tout rationnel $r \in \mathbb{Q}$ :
- $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
- $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a – \ln b$.
- $\ln(a^r) = r \ln a$.
Démonstration
1. Pour $a>0$ fixé, considérons la fonction $f(x) = \ln(ax) – \ln x – \ln a$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{a}{ax} – \frac{1}{x} = 0$. La fonction $f$ est donc constante sur $]0, +\infty[$. Comme $f(1) = \ln(a) – \ln 1 – \ln a = 0$, cette constante est nulle, ce qui prouve la propriété.
2. et 3. Ces propriétés découlent de la première par des manipulations algébriques simples.
Étude de la fonction $\ln$
Par définition, la fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0, +\infty[$. Sa dérivée $\frac{1}{x}$ étant strictement positive sur ce domaine, la fonction $\ln$ est strictement croissante.
Limites : On montre que $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$. La droite d’équation $x=0$ est donc une asymptote verticale.
La fonction $\ln$ est une bijection continue et strictement croissante de $]0, +\infty[$ sur $\mathbb{R}$.
| $x$ | 0 | 1 | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$ | || | + | 1 | + | |
| $\ln x$ | || $-\infty$ | ↗ | 0 | ↗ | $+\infty$ |
Remarque
Puisque $\ln$ est une bijection de $]0, +\infty[$ sur $\mathbb{R}$, il existe un unique nombre réel, noté $e$, tel que $\ln(e) = 1$. On a $e \approx 2,71828$.
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (Croissance comparée)
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (Croissance comparée)