Fonction Arc Cosinus
La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0, \pi]$. Elle réalise donc une bijection de $[0, \pi]$ sur l’intervalle image $[-1, 1]$. Sa fonction réciproque est appelée Arc cosinus et est notée $\arccos$.
La fonction $\arccos$ est définie par : $$ \arccos: [-1, 1] \to [0, \pi] $$ $$ x \mapsto \arccos x $$ Elle est caractérisée par l’équivalence : $$ y = \arccos x \iff \begin{cases} x = \cos y \\ \text{et } 0 \le y \le \pi \end{cases} $$
- La fonction $\arccos$ est continue et strictement décroissante sur $[-1, 1]$.
- Elle est dérivable sur l’intervalle ouvert $]-1, 1[$ et sa dérivée est : $$ (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
- La fonction n’est ni paire, ni impaire. Elle vérifie la relation : $\arccos(-x) = \pi – \arccos x$.
Fonction Arc Sinus
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Elle réalise donc une bijection de $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ sur l’intervalle image $[-1, 1]$. Sa fonction réciproque est appelée Arc sinus et est notée $\arcsin$.
La fonction $\arcsin$ est définie par : $$ \arcsin: [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$ $$ x \mapsto \arcsin x $$ Elle est caractérisée par l’équivalence : $$ y = \arcsin x \iff \begin{cases} x = \sin y \\ \text{et } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $$
- La fonction $\arcsin$ est continue, strictement croissante et impaire sur $[-1, 1]$.
- Elle est dérivable sur l’intervalle ouvert $]-1, 1[$ et sa dérivée est : $$ (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
- On a la relation fondamentale : $\forall x \in [-1,1], \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.