Morphismes entre Structures Algébriques
Un morphisme est une application entre deux ensembles munis de la même structure algébrique (deux groupes, deux anneaux, etc.) qui « respecte » cette structure. C’est un concept unificateur en algèbre, qui permet de comparer des structures et de transférer des propriétés de l’une à l’autre.
Soient $(E, \star)$ et $(F, \bullet)$ deux magmas (deux ensembles munis chacun d’une loi de composition interne).
Une application $f: E \to F$ est un morphisme de $(E, \star)$ dans $(F, \bullet)$ si, pour tous les éléments $x, y$ de $E$, on a :
$$ f(x \star y) = f(x) \bullet f(y) $$
« Respecter la structure »
L’égalité $f(x \star y) = f(x) \bullet f(y)$ est la condition clé. Elle signifie que l’on peut, au choix :
- D’abord composer $x$ et $y$ dans l’ensemble de départ $E$ (avec la loi $\star$) puis envoyer le résultat dans $F$ via $f$.
- Ou d’abord envoyer $x$ et $y$ dans l’ensemble d’arrivée $F$ via $f$, puis composer leurs images $f(x)$ et $f(y)$ (avec la loi $\bullet$).
Le résultat doit être le même. Le morphisme fait le lien entre les deux lois de composition.
Soit $f: E \to F$ un morphisme.
- Si $E=F$, on parle d’un endomorphisme.
- Si $f$ est bijectif, on parle d’un isomorphisme. On dit alors que $E$ et $F$ sont isomorphes, ce qui signifie qu’ils ont « exactement la même structure ».
- Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme.
Exemples Fondamentaux
- Logarithme : L’application $\ln : (\mathbb{R}_+^*, \times) \to (\mathbb{R}, +)$ est un isomorphisme. Elle respecte la structure car $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$.
- Exponentielle : L’application $\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un isomorphisme. C’est la réciproque du logarithme, et elle respecte la structure car $\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
- Déterminant : L’application $\det : (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ est un morphisme de groupes, car $\det(A \times B) = \det(A) \times \det(B)$.