Caractérisation d’un Sous-Groupe
Vérifier les trois points de la définition d’un sous-groupe (non vide, stabilité, existence des symétriques) peut être redondant. Il existe une caractérisation beaucoup plus efficace et rapide qui combine la stabilité et le symétrique en une seule condition.
Soit $(G, \star)$ un groupe et $H$ une partie de $G$.
$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
- $H$ est non vide (souvent, on vérifie que l’élément neutre $e_G$ appartient à $H$).
- Pour tous $x, y$ dans $H$, le composé $x \star y’$ est encore dans $H$.
(Où $y’$ est le symétrique de $y$ dans $G$).
$\forall (x, y) \in H^2, \quad x \star y’ \in H$.
Pourquoi cette caractérisation fonctionne ?
Cette condition unique est suffisante pour redémontrer les points de la définition :
- Existence du neutre : Comme $H$ est non vide, il contient un élément $x$. En appliquant la condition avec $y=x$, on a $x \star x’ = e \in H$.
- Existence du symétrique : On sait que $e \in H$. Pour tout $x \in H$, on applique la condition avec « e » et « x » : $e \star x’ = x’ \in H$. Donc $H$ est stable par passage au symétrique.
- Stabilité de la loi : Pour tous $x, y \in H$, on sait que $y’ \in H$. Donc $y » = (y’)’$ est aussi dans $H$. Mais $y »=y$. En appliquant la condition à $x$ et $y’$, on a $x \star (y’)’ = x \star y \in H$. La loi est stable.
Si $H$ est une partie finie et non vide de $G$, la caractérisation est encore plus simple :
$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H$ est stable pour la loi $\star$.
$$ \forall (x, y) \in H^2, \quad x \star y \in H $$
Dans le cas fini, la simple stabilité de la loi suffit à garantir l’existence des symétriques.