Produit Direct de Groupes
Le produit direct est une méthode fondamentale pour construire de nouveaux groupes à partir de groupes existants. L’idée est de combiner deux groupes en considérant les paires d’éléments et en définissant une loi de composition « composante par composante ».
Définition : Produit Direct
Soient $(G_1, \star_1)$ et $(G_2, \star_2)$ deux groupes.
Le produit direct de $G_1$ et $G_2$ est le groupe $(G_1 \times G_2, \star)$ où :
- L’ensemble sous-jacent est le produit cartésien $G_1 \times G_2 = \{ (g_1, g_2) \mid g_1 \in G_1, g_2 \in G_2 \}$.
- La loi de composition $\star$ est définie composante par composante : $$ \forall (g_1, g_2), (h_1, h_2) \in G_1 \times G_2, \quad (g_1, g_2) \star (h_1, h_2) = (g_1 \star_1 h_1, g_2 \star_2 h_2) $$
Propriétés de la Structure Produit
Si $G = G_1 \times G_2$ est un groupe produit :
- Élément neutre : L’élément neutre de $G$ est le couple des éléments neutres : $e_G = (e_{G_1}, e_{G_2})$.
- Symétrique : Le symétrique d’un élément $(g_1, g_2)$ est le couple des symétriques : $(g_1, g_2)’ = (g_1′, g_2′)$.
- Ordre : Si $G_1$ et $G_2$ sont des groupes finis, alors l’ordre du groupe produit est le produit des ordres : $|G_1 \times G_2| = |G_1| \times |G_2|$.
- Commutativité : Le groupe produit $G_1 \times G_2$ est abélien si et seulement si $G_1$ et $G_2$ sont tous les deux abéliens.
Exemples
- Le plan euclidien : Le groupe $(\mathbb{R}^2, +)$ est le produit direct de $(\mathbb{R}, +)$ par lui-même. L’addition des vecteurs se fait bien composante par composante.
- Le groupe de Klein : Le groupe $V \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$ est un groupe d’ordre 4. C’est un exemple de groupe non cyclique.
- Le groupe $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)$ : Par le théorème des restes chinois, ce groupe est isomorphe au produit direct $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$.