Définition d’un Morphisme de Groupes
Un morphisme de groupes est une application entre deux groupes qui est compatible avec leur structure. C’est un concept central qui permet de relier et de comparer différents groupes entre eux. Il « traduit » la loi du groupe de départ en la loi du groupe d’arrivée.
Soient $(G, \star)$ et $(H, \bullet)$ deux groupes. Une application $f: G \to H$ est un morphisme de groupes si, pour tous les éléments $x, y$ de $G$, on a : $$ f(x \star y) = f(x) \bullet f(y) $$
Cette unique condition de compatibilité avec les lois de composition a des conséquences très fortes sur la manière dont le morphisme interagit avec les autres éléments de la structure de groupe (élément neutre et symétriques).
Si $f: G \to H$ est un morphisme de groupes, alors :
- L’image de l’élément neutre est l’élément neutre : $f(e_G) = e_H$.
- L’image du symétrique est le symétrique de l’image : Pour tout $x \in G$, $f(x’) = (f(x))’$.
En notation additive : $f(-x) = -f(x)$. En notation multiplicative : $f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}$.
Exemples Fondamentaux
- L’exponentielle : L’application $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un morphisme de groupes car $\exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
- Le déterminant : L’application $\det: (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ est un morphisme de groupes car $\det(A \times B) = \det(A) \times \det(B)$.
- La signature : L’application signature $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$ est un morphisme de groupes car $\varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma) \times \varepsilon(\tau)$.
- Morphisme trivial : L’application qui envoie tous les éléments d’un groupe $G$ sur l’élément neutre d’un groupe $H$ est toujours un morphisme, appelé morphisme trivial.