Définition d’un Sous-Groupe Distingué
Un sous-groupe distingué (ou sous-groupe normal) est un type particulier de sous-groupe qui joue un rôle central dans la construction des groupes quotients. C’est un sous-groupe qui est « invariant par conjugaison », ce qui signifie que sa structure n’est pas modifiée lorsqu’on le « transforme » par les éléments du groupe ambiant.
Soit $(G, \star)$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$.
On dit que $H$ est un sous-groupe distingué (ou normal) de $G$ si pour tout élément $g \in G$, le conjugué de $H$ par $g$ est égal à $H$ :
$$ \forall g \in G, \quad g \star H \star g’ = H $$
où $g \star H \star g’ = \{ g \star h \star g’ \mid h \in H \}$. On note alors $H \triangleleft G$.
Un sous-groupe $H$ de $G$ est distingué si et seulement si : $$ \forall g \in G, \forall h \in H, \quad g \star h \star g’ \in H $$ Il suffit de vérifier que le conjugué de tout élément de $H$ reste dans $H$.
Propriétés Importantes
- Groupes abéliens : Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué. En effet, $g \star h \star g’ = g \star g’ \star h = e \star h = h \in H$.
- Noyau d’un morphisme : Le noyau de n’importe quel morphisme de groupes $f: G \to H$ est toujours un sous-groupe distingué de $G$. C’est l’une des raisons pour lesquelles les noyaux sont si importants.
Exemples et Contre-Exemple
- Les sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$, de la forme $n\mathbb{Z}$, sont tous distingués car $(\mathbb{Z}, +)$ est abélien.
- Le groupe alterné $\mathcal{A}_n$ est un sous-groupe distingué du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ (car c’est le noyau du morphisme signature).
- Le groupe spécial linéaire $SL_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe distingué de $GL_n(\mathbb{R})$ (car c’est le noyau du morphisme déterminant).
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Contre-exemple : Dans $\mathcal{S}_3$, le sous-groupe $H = \{Id, (1 \ 2)\}$ n’est pas distingué. Prenons $g = (1 \ 3)$ et $h = (1 \ 2)$. Alors $g’ = (1 \ 3)$.
Le conjugué est $g \star h \star g’ = (1 \ 3) \circ (1 \ 2) \circ (1 \ 3) = (2 \ 3)$.
Comme $(2 \ 3) \notin H$, le sous-groupe $H$ n’est pas distingué.