Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel

Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel
Définition : Symétrie Vectorielle

Soit $E$ un K-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$).

  • La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application $s_F : E \to E$ qui à un vecteur $x = x_1 + x_2$ (avec $x_1 \in F$ et $x_2 \in G$) associe le vecteur $s_F(x) = x_1 – x_2$.
  • Plus généralement, on appelle symétrie vectorielle (ou involution linéaire) tout endomorphisme $u$ de $E$ qui est son propre inverse, c’est-à-dire qui vérifie $u^2 = u \circ u = Id_E$.

Remarque

  1. Une symétrie $s_F$ est directement liée à la projection $p_F$ sur $F$ parallèlement à $G$ par la relation : $s_F = 2p_F – Id_E$.
  2. Pour une symétrie $s_F$, le sous-espace $F$ est l’ensemble des vecteurs invariants (le sous-espace propre associé à la valeur propre 1), tandis que $G$ est le sous-espace des vecteurs anti-invariants (le sous-espace propre associé à la valeur propre -1). On a donc $F = Ker(s_F – Id_E)$ et $G = Ker(s_F + Id_E)$.
  3. Par construction, une symétrie $s_F$ est un endomorphisme involutif : $s_F^2 = Id_E$.
Théorème : Caractérisation des Symétries

Soit $u$ une symétrie vectorielle d’un K-espace vectoriel $E$. Alors :

  1. L’espace $E$ est la somme directe des sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et -1 : $E = Ker(u – Id_E) \oplus Ker(u + Id_E)$.
  2. Si l’on pose $F = Ker(u – Id_E)$ et $G = Ker(u + Id_E)$, alors $u$ est précisément la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.

Démonstration

i) Montrons d’abord que l’intersection est nulle. Soit $x \in Ker(u – Id_E) \cap Ker(u + Id_E)$. On a alors $u(x)=x$ et $u(x)=-x$. Cela implique $x=-x$, soit $2x=0$. Si la caractéristique du corps $K$ est différente de 2, on en déduit $x=0$. L’intersection est donc $\{0\}$.

Montrons ensuite que la somme est égale à $E$. Pour tout $x \in E$, on peut utiliser l’astuce de décomposition suivante : $$ x = \frac{x + u(x)}{2} + \frac{x – u(x)}{2} $$ Posons $x_1 = \frac{x + u(x)}{2}$ et $x_2 = \frac{x – u(x)}{2}$. Vérifions que $x_1$ et $x_2$ appartiennent aux bons sous-espaces :

  • $u(x_1) = u\left(\frac{x + u(x)}{2}\right) = \frac{u(x) + u^2(x)}{2} = \frac{u(x) + x}{2} = x_1$. Donc $x_1 \in Ker(u – Id_E)$.
  • $u(x_2) = u\left(\frac{x – u(x)}{2}\right) = \frac{u(x) – u^2(x)}{2} = \frac{u(x) – x}{2} = -x_2$. Donc $x_2 \in Ker(u + Id_E)$.
Tout vecteur $x$ peut donc s’écrire comme la somme d’un élément de $Ker(u-Id_E)$ et d’un élément de $Ker(u+Id_E)$. La somme est donc directe et égale à $E$.

ii) Soit $x \in E$. D’après (i), il se décompose de manière unique en $x = x_1 + x_2$ avec $x_1 \in Ker(u – Id_E)$ et $x_2 \in Ker(u + Id_E)$. En appliquant $u$, on obtient : $$ u(x) = u(x_1 + x_2) = u(x_1) + u(x_2) = x_1 – x_2 $$ Ceci correspond exactement à la définition de la symétrie par rapport à $Ker(u-Id_E)$ parallèlement à $Ker(u+Id_E)$.