Définition du Groupe Alterné $\mathcal{A}_n$
Le groupe alterné est un sous-groupe fondamental du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$. Il est constitué de toutes les permutations « paires », c’est-à-dire celles qui préservent une certaine notion d’orientation. Sa définition la plus élégante est celle qui utilise le morphisme signature.
Le groupe alterné d’indice $n$, noté $\mathcal{A}_n$, est l’ensemble de toutes les permutations paires de $\mathcal{S}_n$.
De manière équivalente, c’est le noyau du morphisme signature $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$. $$ \mathcal{A}_n = \ker(\varepsilon) = \{ \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \varepsilon(\sigma) = 1 \} $$
- Structure de groupe : En tant que noyau d’un morphisme de groupes, $\mathcal{A}_n$ est un sous-groupe de $\mathcal{S}_n$.
- Sous-groupe distingué : Le noyau d’un morphisme est toujours un sous-groupe distingué. Donc, $\mathcal{A}_n$ est un sous-groupe distingué de $\mathcal{S}_n$.
- Ordre : Pour $n \ge 2$, le morphisme signature est surjectif. D’après le premier théorème d’isomorphisme, $|\mathcal{S}_n / \mathcal{A}_n| = |\{-1, 1\}| = 2$.
On en déduit que l’ordre du groupe alterné est la moitié de celui du groupe symétrique : $$ |\mathcal{A}_n| = \frac{|\mathcal{S}_n|}{2} = \frac{n!}{2} $$
Exemple : Le Groupe $\mathcal{A}_3$
Le groupe $\mathcal{S}_3$ est d’ordre $3! = 6$. Le groupe $\mathcal{A}_3$ est donc d’ordre $6/2 = 3$.
Les permutations de $\mathcal{S}_3$ sont :
- $Id$ : signature +1
- $(1 \ 2)$, $(1 \ 3)$, $(2 \ 3)$ : signatures -1 (transpositions)
- $(1 \ 2 \ 3)$, $(1 \ 3 \ 2)$ : signatures +1 (cycles de longueur 3)
Le groupe alterné $\mathcal{A}_3$ est donc l’ensemble des permutations paires : $$ \mathcal{A}_3 = \{ Id, (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2) \} $$ C’est un groupe d’ordre 3. Comme 3 est un nombre premier, il est nécessairement cyclique.