Introduction : Les Points de Stabilité Absolue
Lorsqu’un groupe agit sur un ensemble, il permute ses éléments. Les orbites décrivent les trajectoires de ces éléments et les stabilisateurs décrivent les sous-groupes qui fixent un élément donné. Il existe une notion encore plus forte de stabilité : celle des points fixes. Un point fixe est un élément de l’ensemble qui n’est déplacé par aucun élément du groupe.
Ces points sont des « ancres » immuables au sein de l’action. Ils représentent les éléments de l’ensemble qui possèdent une symétrie totale par rapport au groupe. L’ensemble des points fixes est un objet d’étude important, notamment dans les formules de dénombrement comme le lemme de Burnside et dans l’analyse de la structure même du groupe, comme nous le verrons avec le centre.
Soit un groupe $G$ agissant sur un ensemble $X$. L’ensemble des points fixes de l’action est l’ensemble des éléments de $X$ qui sont fixés par tous les éléments de $G$. On le note $X^G$.
Formellement : $$ X^G = \{ x \in X \mid \forall g \in G, g \star x = x \} $$
Relation avec les Orbites et les Stabilisateurs
La notion de point fixe est intimement liée aux concepts d’orbite et de stabilisateur :
- Lien avec les orbites : Un élément $x$ est un point fixe si et seulement si son orbite est réduite à un singleton : $x \in X^G \iff \text{Orb}_G(x) = \{x\}$. L’ensemble des points fixes est donc l’union de toutes les orbites de taille 1.
- Lien avec les stabilisateurs : Par définition, $X^G = \{ x \in X \mid \text{Stab}_G(x) = G \}$. Un élément est un point fixe si et seulement si son stabilisateur est le groupe entier $G$. C’est la condition de stabilité maximale.
Il est crucial de ne pas confondre l’ensemble des points fixes du groupe, $X^G$, avec l’ensemble des points fixes d’un élément $g \in G$, noté $X^g$.
- $X^G = \{ x \in X \mid \forall g \in G, g \star x = x \}$ : les points fixés par tous les éléments du groupe.
- $X^g = \{ x \in X \mid g \star x = x \}$ : les points fixés par un élément spécifique $g$.
Exemples de Points Fixes
- Action triviale : Si $G$ agit trivialement sur $X$ (c’est-à-dire $g \star x = x$ pour tous $g,x$), alors chaque élément est fixé par tous les éléments de $G$. L’ensemble des points fixes est l’ensemble tout entier : $X^G = X$.
- Rotation d’un polygone régulier : Soit $G$ le groupe des rotations d’un polygone régulier à $n$ côtés, agissant sur les points du polygone dans le plan. Le seul point qui reste inchangé par toutes les rotations (non triviales) est le centre du polygone. L’ensemble des points fixes est donc réduit à ce seul point : $X^G = \{\text{centre}\}$.
- Action par conjugaison et Centre : C’est l’exemple le plus important. Un groupe $G$ agit sur lui-même par conjugaison ($g \star x = gxg^{-1}$). L’ensemble des points fixes de cette action est : $$ G^G = \{ x \in G \mid \forall g \in G, gxg^{-1} = x \} $$ Cette condition, $gxg^{-1}=x$, est équivalente à $gx=xg$. Un élément est donc un point fixe si et seulement s’il commute avec tous les éléments de $G$. C’est précisément la définition du centre du groupe, $Z(G)$. $$ G^G = Z(G) $$
Application : Le Lemme de Burnside
La notion de point fixe d’un élément (et non du groupe entier) est au cœur de la puissante formule de dénombrement connue sous le nom de lemme de Burnside, qui permet de compter le nombre d’orbites.
Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. Le nombre d’orbites, noté $|X/G|$, est égal à la moyenne du nombre de points fixes pour chaque élément du groupe : $$ |X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g| $$ Cette formule est extraordinairement utile en combinatoire pour compter des objets distincts sous certaines symétries (par exemple, des colliers, des colorations de cubes, etc.).
Conclusion
Les points fixes représentent les éléments les plus symétriques d’un ensemble par rapport à l’action d’un groupe. Bien que l’ensemble des points fixes du groupe entier puisse parfois être vide ou trivial, il révèle des informations structurelles importantes, comme le centre d’un groupe. De plus, le concept de points fixes pour des éléments individuels est l’ingrédient essentiel des formules de comptage qui sont parmi les applications les plus spectaculaires de la théorie des actions de groupe.