Affinités – Dilatations – Transvections

Affinités, Dilatations et Transvections
Définition : Affinité

Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires ($E = F \oplus G$), et $\lambda \in K$ un scalaire. On appelle affinité de base $F$, de direction $G$ et de rapport $\lambda$, l’application $u: E \to E$ définie par : $$ u(x) = x_1 + \lambda x_2 $$ où $x = x_1 + x_2$ est la décomposition unique de $x$ avec $x_1 \in F$ et $x_2 \in G$.

Remarque

Une affinité est un endomorphisme de $E$. On observe plusieurs cas particuliers :

  • Si $\lambda=1$, $u$ est l’application identité $Id_E$.
  • Si $\lambda=0$, $u$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$.
  • Si $\lambda=-1$, $u$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.
  • Si $\lambda \neq 0$, $u$ est un automorphisme (inversible).
  • Une affinité peut s’exprimer en fonction de la projection $p_F$ sur $F$ par : $u = \lambda Id_E + (1-\lambda)p_F$.

Si $\lambda \neq 0$ et que la direction $G$ est une droite vectorielle ($\dim(G)=1$), l’affinité est appelée une dilatation.

Définition : Transvection

Soit $E$ un K-espace vectoriel. Un endomorphisme $u$ de $E$ est une transvection s’il existe un hyperplan $H$ de $E$ tel que :

  1. Tout vecteur de $H$ est invariant par $u$ : $\forall x \in H, u(x)=x$.
  2. La différence $u(x)-x$ appartient à $H$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

Remarque

Toute transvection est inversible. En effet, les conditions impliquent que $(u-Id_E)^2=0$, soit $u^2 – 2u + Id_E = 0$. On peut alors écrire $u(2Id_E – u) = (2Id_E – u)u = Id_E$, ce qui montre que $u^{-1} = 2Id_E – u$.

Théorème : Caractérisation des Transvections

Un endomorphisme $u \neq Id_E$ d’un K-espace vectoriel $E$ est une transvection si et seulement si :

  1. Le sous-espace des vecteurs invariants, $Ker(u-Id_E)$, est un hyperplan.
  2. L’endomorphisme $u-Id_E$ est nilpotent d’indice 2, c’est-à-dire $(u-Id_E)^2=0$.

Démonstration

($\implies$) Si $u$ est une transvection d’hyperplan $H$, la première condition de la définition implique $H \subseteq Ker(u-Id_E)$. Comme $u \neq Id_E$, $Ker(u-Id_E) \neq E$, donc $Ker(u-Id_E)=H$, qui est un hyperplan. La deuxième condition, $u(x)-x \in H = Ker(u-Id_E)$, signifie que pour tout $x$, $(u-Id_E)(u(x)-x)=0$, soit $(u-Id_E)^2(x)=0$. Donc $(u-Id_E)^2=0$.

($\impliedby$) Posons $H = Ker(u-Id_E)$. Par hypothèse, $H$ est un hyperplan et $\forall x \in H, u(x)=x$. La première condition de la définition est vérifiée. De plus, $(u-Id_E)^2=0$ signifie que $Im(u-Id_E) \subseteq Ker(u-Id_E)$. Donc pour tout $x \in E$, le vecteur $u(x)-x$ appartient à $Im(u-Id_E)$, et donc à $H$. La deuxième condition est aussi vérifiée.