Contexte : Suites de Composition
Pour comprendre ce théorème, il faut définir la notion de « décomposition » d’un groupe.
- Groupe Simple : Un groupe $G$ est dit simple s’il n’est pas trivial et si ses seuls sous-groupes normaux sont $\{e\}$ (le groupe trivial) et $G$ lui-même. Les groupes simples sont les « atomes » indivisibles de la théorie des groupes.
- Suite de Composition : Pour un groupe fini $G$, une suite de composition est une suite de sous-groupes : $$ \{e\} = H_0 \triangleleft H_1 \triangleleft H_2 \triangleleft \dots \triangleleft H_k = G $$ où chaque $H_i$ est un sous-groupe normal maximal dans $H_{i+1}$.
- Facteurs de Composition : Les groupes quotients $H_{i+1}/H_i$ sont appelés les facteurs de composition de la suite. La condition de maximalité de la suite implique que ces facteurs de composition sont tous des groupes simples.
Un groupe peut avoir plusieurs suites de composition différentes. Le théorème de Jordan-Hölder affirme que les « briques » (les facteurs de composition) que l’on obtient sont toujours les mêmes.
Théorème de Jordan-Hölder
Soit $G$ un groupe fini. Toutes les suites de composition de $G$ ont la même longueur. De plus, les facteurs de composition sont les mêmes, à l’ordre près et à isomorphisme près.
Esquisse de la Démonstration
La démonstration est assez technique et repose sur un résultat puissant, le lemme de Zassenhaus (ou lemme du papillon), qui permet de comparer des structures de quotients.
- Raffinement d’une suite : Une suite de sous-groupes est un raffinement d’une autre si elle contient tous les sous-groupes de la première. Une suite de composition est une suite qui ne peut pas être raffinée (sans introduire de facteurs triviaux).
- Théorème de raffinement de Schreier : Ce théorème, prouvé à l’aide du lemme de Zassenhaus, affirme que deux suites de sous-groupes quelconques d’un groupe $G$ admettent des raffinements qui sont « équivalents » (ils ont la même longueur et leurs facteurs quotients sont isomorphes deux à deux).
- Application aux suites de composition : On applique le théorème de raffinement de Schreier à deux suites de composition quelconques de $G$. Puisqu’une suite de composition ne peut pas être raffinée de manière non triviale, ses seuls raffinements sont elle-même. Les deux suites de composition initiales doivent donc déjà être équivalentes.
- Conclusion : Cela prouve que deux suites de composition quelconques ont la même longueur et les mêmes facteurs de composition à isomorphisme et permutation près.
Implications et Utilisation
- Factorisation Unique : Le théorème de Jordan-Hölder est l’analogue en théorie des groupes du théorème fondamental de l’arithmétique. Il garantit que tout groupe fini peut être « factorisé » de manière unique en un ensemble de groupes simples.
- Classification des Groupes Finis Simples : Ce théorème justifie l’importance de la quête monumentale qu’a été la classification de tous les groupes finis simples. Puisque tout groupe fini est « construit » à partir de ces briques, les connaître toutes est une étape essentielle pour comprendre la structure de n’importe quel groupe fini.
-
Exemple : Considérons le groupe cyclique $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Il a deux suites de composition possibles :
- $\{0\} \triangleleft \langle 3 \rangle \triangleleft \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Les facteurs sont $\langle 3 \rangle / \{0\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) / \langle 3 \rangle \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Les « briques » sont $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
- $\{0\} \triangleleft \langle 2 \rangle \triangleleft \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Les facteurs sont $\langle 2 \rangle / \{0\} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}) / \langle 2 \rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Les « briques » sont $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.