Pour énoncer le théorème, nous avons besoin de concepts de la théorie de la mesure.
- Espace mesuré : Un triplet $(X, \mathcal{A}, \mu)$ où $X$ est un ensemble, $\mathcal{A}$ une tribu (sigma-algèbre) de parties de $X$, et $\mu$ une mesure (une fonction qui assigne une « taille » aux ensembles de la tribu).
- Mesure $\sigma$-finie : Une mesure $\mu$ est $\sigma$-finie si l’on peut recouvrir l’espace $X$ par une suite dénombrable d’ensembles de mesure finie. La mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ est $\sigma$-finie mais pas finie.
- Continuité absolue : Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur le même espace mesurable $(X, \mathcal{A})$. On dit que la mesure $\nu$ est absolument continue par rapport à la mesure $\mu$, et on note $\nu \ll \mu$, si tout ensemble de mesure nulle pour $\mu$ est aussi de mesure nulle pour $\nu$. $$ \forall A \in \mathcal{A}, \quad \mu(A) = 0 \implies \nu(A) = 0 $$ Intuitivement, cela signifie que $\nu$ ne « charge » que là où $\mu$ « charge » aussi.
Soient $(X, \mathcal{A})$ un espace mesurable, et $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma$-finies sur cet espace.
Si la mesure $\nu$ est absolument continue par rapport à la mesure $\mu$ ($\nu \ll \mu$), alors il existe une fonction mesurable $f: X \to [0, +\infty]$ telle que pour tout ensemble mesurable $A \in \mathcal{A}$ : $$ \nu(A) = \int_A f \, d\mu $$
Cette fonction $f$ est appelée la dérivée de Radon-Nikodym de $\nu$ par rapport à $\mu$, et elle est unique à un ensemble de $\mu$-mesure nulle près. On la note : $$ f = \frac{d\nu}{d\mu} $$
Esquisse de la Démonstration
La démonstration est l’un des résultats les plus techniques de la théorie de la mesure. Il en existe plusieurs versions.
Une approche courante, due à von Neumann, se déroule en plusieurs étapes :
- Cas des mesures finies : On suppose d’abord que $\mu$ et $\nu$ sont des mesures finies. On considère la mesure $\mu+\nu$.
- Utilisation de l’analyse fonctionnelle : On considère l’espace de Hilbert $L^2(X, \mu+\nu)$. L’application $L(\phi) = \int_X \phi \, d\nu$ est une forme linéaire continue sur cet espace. Par le théorème de représentation de Riesz (pour les espaces de Hilbert), il existe une unique fonction $g \in L^2$ telle que $L(\phi) = \int_X \phi g \, d(\mu+\nu)$.
- Construction de la dérivée : En manipulant cette relation, on montre que $0 \le g(x) \le 1$ presque partout. On peut alors définir la dérivée de Radon-Nikodym par $f = \frac{g}{1-g}$.
- Vérification : On vérifie que cette fonction $f$ a bien les propriétés requises. L’absolue continuité est cruciale pour s’assurer que le dénominateur $1-g$ ne s’annule pas sur un ensemble de mesure non nulle.
- Extension au cas $\sigma$-fini : Une fois le théorème prouvé pour les mesures finies, on l’étend au cas $\sigma$-fini en décomposant l’espace $X$ en une union dénombrable d’ensembles de mesure finie, en appliquant le théorème sur chaque morceau, puis en recollant les résultats.
Implications et Utilisation Fondamentale en Probabilités
L’application la plus importante du théorème de Radon-Nikodym se trouve en théorie des probabilités.
- Existence des densités de probabilité : Soit une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. Sa loi de probabilité est une mesure de probabilité $P_X$ sur $\mathbb{R}$. Si cette mesure $P_X$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ (la mesure usuelle de la longueur), alors le théorème de Radon-Nikodym garantit l’existence d’une fonction $f = \frac{dP_X}{d\lambda}$. Cette fonction $f$ est précisément la fonction de densité de probabilité (pdf) de la variable aléatoire $X$.
- Espérance conditionnelle : Le théorème est la base de la définition rigoureuse de l’espérance conditionnelle dans un cadre général.
- Changement de mesure : En mathématiques financières et en processus stochastiques, le théorème (via le théorème de Girsanov) est l’outil qui permet de passer d’une mesure de probabilité « historique » à une mesure « risque-neutre », un concept essentiel pour l’évaluation des produits dérivés.