Le Lemme de Schwarz est un résultat surprenant qui décrit le comportement des fonctions holomorphes qui envoient le disque unité ouvert dans lui-même, avec une contrainte supplémentaire.
- Le disque unité ouvert est l’ensemble $D = \{ z \in \mathbb{C} \,|\, |z| < 1 \}$.
- On s’intéresse à une fonction holomorphe $f: D \to D$, ce qui signifie que si $|z| < 1$, alors $|f(z)| < 1$.
- On impose la condition que l’origine est un point fixe : $f(0) = 0$.
Ces conditions peuvent sembler simples, mais elles forcent la fonction $f$ à être « plus petite » que l’identité, en un sens très précis.
Soit $f: D \to D$ une fonction holomorphe telle que $f(0) = 0$. Alors :
- Pour tout $z \in D$, on a $|f(z)| \le |z|$.
- On a $|f'(0)| \le 1$.
De plus, si l’égalité $|f(z_0)| = |z_0|$ a lieu pour un certain $z_0 \in D \setminus \{0\}$, ou si $|f'(0)| = 1$, alors $f$ est une rotation : il existe une constante $c$ de module 1 telle que $f(z) = cz$ pour tout $z \in D$.
Démonstration (par le Principe du Maximum)
La preuve est un classique d’élégance en analyse complexe.
- Construire une fonction auxiliaire : Puisque $f(0)=0$, la fonction $f(z)$ est divisible par $z$. On peut donc définir une fonction $g$ sur $D$ par : $$ g(z) = \begin{cases} \frac{f(z)}{z} & \text{si } z \neq 0 \\ f'(0) & \text{si } z = 0 \end{cases} $$ Grâce à la condition $f(0)=0$, la singularité en $0$ est « effaçable », et la fonction $g$ est holomorphe sur tout le disque $D$.
- Appliquer le Principe du Maximum : Considérons un cercle $|z| = r$ avec $0 < r < 1$. Pour tout $z$ sur ce cercle, on a : $$ |g(z)| = \frac{|f(z)|}{|z|} = \frac{|f(z)|}{r} $$ Comme $f$ envoie $D$ dans $D$, on sait que $|f(z)| < 1$. On a donc la majoration (non stricte) $|f(z)| \le 1$. Ainsi, sur le cercle $|z|=r$ : $$ |g(z)| \le \frac{1}{r} $$
- D’après le principe du module maximum, cette majoration est vraie pour tout l’intérieur du disque $|z| \le r$. Donc, $|g(z)| \le 1/r$ pour tout $|z| \le r$.
- Faire tendre r vers 1 : Cette inégalité est vraie pour n’importe quel $r < 1$. En faisant tendre $r$ vers $1$, on obtient que pour tout $z \in D$ : $$ |g(z)| \le 1 $$
-
Conclusion :
- Puisque $|g(z)| = |f(z)/z| \le 1$, on a bien $|f(z)| \le |z|$.
- En particulier, en $z=0$, on a $|g(0)| = |f'(0)| \le 1$.
Importance du Lemme
- Rigidité des fonctions holomorphes : Comme le théorème de Liouville, ce lemme montre à quel point les fonctions holomorphes sont contraintes. Le simple fait de fixer un point et de borner l’image a des conséquences sur la fonction entière.
- Automorphismes du disque : Le lemme de Schwarz est un outil essentiel pour caractériser toutes les bijections biholomorphes du disque unité sur lui-même (ses automorphismes).
- Géométrie complexe : Il est à la base de la construction de la métrique de Poincaré-Bergman, qui donne au disque unité une structure de géométrie hyperbolique.