Le théorème intégral de Cauchy nous dit que si une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, alors son intégrale le long de n’importe quel chemin fermé (lacet) $\gamma$ dans $D$ est nulle : $\oint_\gamma f(z) dz = 0$.
Le théorème de Morera s’intéresse à la question inverse : si l’intégrale d’une fonction le long de tout chemin fermé est nulle, peut-on en conclure que la fonction est holomorphe ? La réponse est oui, à condition d’ajouter une hypothèse de base : la continuité.
Soit $f$ une fonction continue à valeurs complexes, définie sur un domaine (ouvert connexe) $D$ du plan complexe $\mathbb{C}$.
Si, pour tout chemin fermé simple (ou tout triangle) $\gamma$ contenu dans $D$, on a : $$ \oint_\gamma f(z) \,dz = 0 $$ Alors la fonction $f$ est holomorphe sur $D$.
Idée de la Démonstration
La démonstration est constructive. Elle consiste à prouver que si l’intégrale sur tout chemin fermé est nulle, alors la fonction $f$ admet une primitive holomorphe, ce qui implique que $f$ elle-même est holomorphe.
- Indépendance du chemin : L’hypothèse $\oint_\gamma f(z) dz = 0$ pour tout lacet est équivalente à dire que l’intégrale de $f$ entre deux points $a$ et $b$ ne dépend pas du chemin choisi pour les relier.
- Construction d’une primitive : On fixe un point $z_0 \in D$ et on définit une fonction $F$ pour tout $z \in D$ par : $$ F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta) \,d\zeta $$ Grâce à l’indépendance du chemin, cette fonction $F$ est bien définie.
- Dérivée de F : On montre ensuite, en utilisant la continuité de $f$, que $F$ est dérivable et que sa dérivée est $f$. Pour tout $z \in D$ : $$ F'(z) = f(z) $$ La fonction $F$ est donc holomorphe sur $D$.
- Conclusion : En analyse complexe, un résultat fondamental stipule que toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable, et ses dérivées sont aussi holomorphes. Puisque $f = F’$, et que $F$ est holomorphe, alors $f$ est également holomorphe.
Implications et Utilité
- Un critère puissant d’holomorphie : Le théorème de Morera est un outil très efficace pour prouver qu’une fonction est holomorphe, surtout quand il est difficile de calculer sa dérivée directement ou de vérifier les équations de Cauchy-Riemann.
- Convergence de fonctions : Il est particulièrement utile dans l’étude des suites et des séries de fonctions. Si une suite de fonctions holomorphes $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$, on peut souvent intervertir la limite et l’intégrale : $$ \oint_\gamma f(z) \,dz = \oint_\gamma \lim_{n\to\infty} f_n(z) \,dz = \lim_{n\to\infty} \underbrace{\oint_\gamma f_n(z) \,dz}_{=0} = 0 $$ La convergence uniforme conserve la continuité, donc $f$ est continue. D’après Morera, $f$ est holomorphe. C’est un résultat majeur : la limite uniforme de fonctions holomorphes est holomorphe.