Ce théorème établit une relation simple et puissante entre deux types d’angles associés à un même arc de cercle.
- Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont deux rayons.
- Un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point sur le cercle et dont les côtés sont deux cordes.
- On dit que ces deux angles interceptent le même arc si leurs côtés coupent le cercle aux deux mêmes points.
Le théorème de l’angle au centre montre que la mesure de l’angle au centre est intrinsèquement liée à celle de n’importe quel angle inscrit interceptant le même arc.
Dans un cercle, la mesure d’un angle au centre est le double de la mesure de tout angle inscrit qui intercepte le même arc.
Si $\alpha$ est la mesure de l’angle inscrit et $\beta$ est la mesure de l’angle au centre (interceptant le même arc), alors : $$ \beta = 2\alpha $$
Idée de la Démonstration
La démonstration se fait en considérant trois cas, en s’appuyant sur les propriétés des triangles isocèles (un triangle formé par deux rayons et une corde est toujours isocèle).
- Cas 1 : Un côté de l’angle inscrit est un diamètre. C’est le cas de base. Le triangle formé par le centre et les sommets de l’angle inscrit est isocèle. L’angle au centre est un angle extérieur à ce triangle, il est donc égal à la somme des deux angles à la base, qui sont égaux. La relation est donc prouvée.
- Cas 2 : Le centre du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit. On trace le diamètre passant par le sommet de l’angle inscrit. Cela divise l’angle en deux angles qui sont dans la configuration du Cas 1. On applique le résultat du Cas 1 à chaque partie, puis on additionne les relations pour obtenir le résultat final.
- Cas 3 : Le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit. On utilise la même stratégie : on trace le diamètre passant par le sommet de l’angle inscrit. Cette fois, on applique le résultat du Cas 1 et on procède par soustraction pour trouver la relation.
Corollaires et Applications
- Égalité des angles inscrits : Une conséquence directe est que tous les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
- Théorème du cercle de Thalès : Un cas particulier très important est celui où l’angle au centre est un angle plat (180°), ce qui signifie que l’arc est un demi-cercle. Tout angle inscrit interceptant ce demi-cercle mesure donc la moitié de 180°, soit 90°. Un triangle inscrit dans un demi-cercle est toujours un triangle rectangle.
- Quadrilatères inscriptibles : Le théorème est essentiel pour prouver que les angles opposés d’un quadrilatère inscriptible dans un cercle sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).