Le théorème d’Apollonius, ou théorème de la médiane, est une relation métrique qui relie la longueur d’une médiane d’un triangle aux longueurs des trois côtés de ce triangle.
- Une médiane d’un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
- Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème de Pythagore, car dans le cas particulier d’un triangle isocèle, il se simplifie pour donner une relation pythagoricienne.
Soit un triangle $ABC$. Soit $I$ le milieu du côté $[BC]$. Le segment $[AI]$ est donc la médiane issue de $A$.
Alors, la relation suivante est vérifiée : $$ AB^2 + AC^2 = 2(AI^2 + BI^2) $$
Si on note $a, b, c$ les longueurs des côtés opposés aux sommets $A, B, C$ respectivement, et $m_a$ la longueur de la médiane issue de $A$, la formule s’écrit : $$ c^2 + b^2 = 2\left(m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) $$
Démonstration (par le Théorème d’Al-Kashi)
La démonstration la plus courante utilise le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus), qui est lui-même une généralisation du théorème de Pythagore.
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Application d’Al-Kashi : On applique le théorème d’Al-Kashi dans les deux triangles $AIB$ et $AIC$, formés par la médiane.
- Dans le triangle $AIB$, au sommet $I$ : $AB^2 = AI^2 + BI^2 – 2 AI \cdot BI \cos(\widehat{AIB})$.
- Dans le triangle $AIC$, au sommet $I$ : $AC^2 = AI^2 + IC^2 – 2 AI \cdot IC \cos(\widehat{AIC})$.
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Utilisation des propriétés : On utilise deux faits :
- $I$ est le milieu de $[BC]$, donc $BI = IC = a/2$.
- Les angles $\widehat{AIB}$ et $\widehat{AIC}$ sont supplémentaires, donc $\cos(\widehat{AIC}) = \cos(180^\circ – \widehat{AIB}) = -\cos(\widehat{AIB})$.
- Addition des égalités : On additionne les deux égalités obtenues à la première étape. Le terme en cosinus s’annule : $$ AB^2 + AC^2 = (AI^2 + BI^2) + (AI^2 + IC^2) $$
- Conclusion : En regroupant les termes et en remplaçant $IC$ par $BI$, on obtient : $$ AB^2 + AC^2 = 2 AI^2 + 2 BI^2 = 2(AI^2 + BI^2) $$
Applications et Importance
- Calcul de la longueur des médianes : Ce théorème fournit une formule directe pour calculer la longueur d’une médiane si l’on connaît la longueur des trois côtés du triangle.
- Identité du parallélogramme : Le théorème d’Apollonius est équivalent à l’identité du parallélogramme, qui stipule que la somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses deux diagonales.
- Géométrie analytique : Il est à la base de nombreuses relations métriques et est utilisé pour résoudre divers problèmes de géométrie, notamment ceux liés aux lieux géométriques.