En topologie, une application (ou fonction) $f: X \to Y$ est dite ouverte si l’image de tout ensemble ouvert de $X$ est un ensemble ouvert de $Y$.
- Un ensemble $U$ est ouvert si, pour chacun de ses points, il existe un petit disque centré en ce point qui est entièrement contenu dans $U$. Intuitivement, un ouvert ne contient pas sa « frontière ».
- Ce n’est pas une propriété courante. Par exemple, la fonction réelle $f(x) = x^2$ n’est pas ouverte : l’image de l’ouvert $]-1, 1[$ est $[0, 1[$, qui n’est pas un ouvert car il contient sa borne $0$. La fonction $f(x) = \sin(x)$ n’est pas ouverte non plus, car l’image de $\mathbb{R}$ est $[-1, 1]$.
Le théorème de l’application ouverte affirme que, de manière remarquable, toute fonction holomorphe non constante possède cette propriété topologique forte.
Soit $f$ une fonction holomorphe et non constante sur un domaine (ouvert connexe) $D \subset \mathbb{C}$.
Alors $f$ est une application ouverte : l’image $f(U)$ de tout sous-ensemble ouvert $U \subset D$ est un ensemble ouvert dans $\mathbb{C}$.
Aperçu de la Démonstration
La démonstration est assez technique et repose sur des outils avancés de l’analyse complexe. L’idée principale est de montrer que pour tout point $w_0$ dans l’image de $f$, on peut trouver un petit disque autour de $w_0$ qui est aussi entièrement contenu dans l’image.
- Soit $z_0 \in D$ et posons $w_0 = f(z_0)$. On veut montrer que $w_0$ n’est pas sur la « frontière » de l’image de $f$.
- Puisque $f$ n’est pas constante, les zéros de la fonction $g(z) = f(z) – w_0$ sont isolés. On peut donc trouver un petit disque $\Delta$ autour de $z_0$ tel que $f(z) \neq w_0$ sur le bord de ce disque.
- On utilise alors le théorème de Rouché ou le principe de l’argument pour montrer que pour tout $w$ suffisamment proche de $w_0$, l’équation $f(z) = w$ admet au moins une solution $z$ à l’intérieur du disque $\Delta$.
- Cela signifie qu’un petit disque autour de $w_0$ est entièrement contenu dans l’image $f(D)$, ce qui prouve que $f(D)$ est un ouvert.
Conséquences Fondamentales
- Principe du Module Maximum : Le théorème de l’application ouverte fournit la preuve la plus élégante du principe du module maximum. Si le module $|f(z)|$ atteignait un maximum à l’intérieur du domaine $D$, disons en $z_0$, alors l’image d’un petit disque ouvert autour de $z_0$ ne pourrait pas être un ensemble ouvert. En effet, le point $f(z_0)$ serait sur le bord de cette image, ce qui contredit le théorème.
- Comportement Local : Ce théorème explique pourquoi les fonctions holomorphes ne peuvent pas avoir de maxima ou de minima locaux (pour leur module), ni de « plis » ou de « bords » comme la fonction $x \mapsto x^2$ en a à l’origine. Elles transforment la structure ouverte de l’espace de départ en une structure ouverte dans l’espace d’arrivée.
- Différence avec les fonctions réelles : C’est l’une des différences les plus frappantes entre l’analyse complexe et l’analyse réelle. Une fonction réelle dérivable et non constante n’est presque jamais une application ouverte.