Le théorème de la sous-base d’Alexander est un résultat majeur en topologie générale, qui offre une condition équivalente à la compacité. Pour le comprendre, il est essentiel de se rappeler de deux concepts clés :
- La compacité d’un espace topologique $X$ est la propriété que tout recouvrement ouvert de $X$ admet un sous-recouvrement fini. En d’autres termes, pour toute collection d’ouverts dont l’union est $X$, on peut en extraire un nombre fini qui couvrent toujours $X$.
- Une sous-base (ou prébase) pour une topologie sur un ensemble $X$ est une collection de sous-ensembles ouverts de $X$ dont les intersections finies engendrent tous les ouverts de la topologie. Autrement dit, tout ouvert est une union d’intersections finies d’éléments de la sous-base.
Soit $X$ un espace topologique et $\mathcal{S}$ une sous-base pour sa topologie.
L’espace $X$ est compact si et seulement si tout recouvrement ouvert de $X$ par des éléments de $\mathcal{S}$ admet un sous-recouvrement fini.
Formellement, $X$ est compact si et seulement si pour toute collection $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{S}$ telle que $\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U = X$, il existe une sous-collection finie $\mathcal{U}_0 \subseteq \mathcal{U}$ telle que $\bigcup_{V \in \mathcal{U}_0} V = X$.
Importance et Implications
Ce théorème est d’une grande utilité pratique. La définition de la compacité exige de vérifier une propriété sur tous les recouvrements ouverts de l’espace, ce qui peut être une tâche immense. Le théorème d’Alexander réduit cette exigence à une condition beaucoup plus simple : il suffit de ne vérifier la propriété que pour les recouvrements formés uniquement d’éléments de la sous-base.
L’application la plus célèbre du théorème d’Alexander est sans doute la démonstration du théorème de Tychonoff, qui stipule que le produit d’une collection quelconque d’espaces compacts est compact. La preuve de ce théorème est rendue beaucoup plus simple et élégante grâce à l’utilisation du théorème de la sous-base d’Alexander.