Intégration d’un Champ Scalaire
L’intégrale curviligne d’un champ scalaire $f$ le long d’une courbe $\mathcal{C}$ consiste à « additionner » les valeurs de $f$ en chaque point de la courbe, pondérées par un petit élément de longueur d’arc $ds$. Cette intégrale, notée $\int_\mathcal{C} f \,ds$, a plusieurs applications physiques et géométriques, comme le calcul de la masse d’un fil ou l’aire d’une surface cylindrique.
[Image de l’aire d’une barrière au-dessus d’une courbe]1. La Formule de Calcul
Le calcul passe obligatoirement par une paramétrisation $\vec{r}(t)$ de la courbe $\mathcal{C}$. L’intégrale curviligne est alors transformée en une intégrale simple par rapport au paramètre $t$.
Soit $f$ un champ scalaire continu et $\mathcal{C}$ une courbe lisse paramétrée par $\vec{r}(t)$ pour $t \in [a,b]$.
L’intégrale curviligne de $f$ le long de $\mathcal{C}$ est donnée par :
$$ \int_\mathcal{C} f(x,y,z) \,ds = \int_a^b f(\vec{r}(t)) \cdot \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt $$
où :
- $f(\vec{r}(t))$ est la fonction $f$ évaluée aux points de la courbe.
- $\|\vec{r}\,'(t)\|$ est la norme du vecteur tangent (la vitesse scalaire).
- $ds = \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt$ est l’élément de longueur d’arc.
Important : Cette intégrale ne dépend pas de la paramétrisation choisie pour la courbe, ni du sens de parcours.
2. Méthodologie de Calcul
- Paramétrer la courbe $\mathcal{C}$ : Trouver une fonction vectorielle $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ qui décrit la courbe, ainsi que l’intervalle des paramètres $t \in [a,b]$.
- Calculer le vecteur tangent : Dériver la paramétrisation pour obtenir $\vec{r}\,'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))$.
- Calculer la norme du vecteur tangent : Calculer la vitesse scalaire $\|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}$.
- Exprimer $f$ en fonction du paramètre : Substituer $x, y, z$ dans l’expression de $f$ par $x(t), y(t), z(t)$ pour obtenir $f(\vec{r}(t))$.
- Calculer l’intégrale simple : Mettre tous les morceaux ensemble et calculer l’intégrale définie de $a$ à $b$.
Exemple Détaillé : Masse d’un Fil en Hélice
Calculer la masse d’un fil en forme d’hélice circulaire $\mathcal{C}$ dont la densité linéaire (masse par unité de longueur) en un point $(x,y,z)$ est donnée par $f(x,y,z) = k z$. L’hélice est décrite par $\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ pour $t \in [0, 2\pi]$.
- Paramétrisation : Elle est déjà donnée : $\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ pour $t \in [0, 2\pi]$.
- Vecteur tangent : $\vec{r}\,'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$.
- Norme du vecteur tangent : $$ \|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $$ La vitesse scalaire est constante, ce qui simplifie les calculs.
- Exprimer $f$ en fonction de $t$ : $$ f(\vec{r}(t)) = k \cdot z(t) = kt $$
- Calculer l’intégrale : La masse $M$ est $\int_\mathcal{C} f \,ds$. $$ M = \int_0^{2\pi} f(\vec{r}(t)) \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt = \int_0^{2\pi} (kt) \cdot \sqrt{2} \,dt $$ $$ M = k\sqrt{2} \int_0^{2\pi} t \,dt = k\sqrt{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{2\pi} = k\sqrt{2} \left( \frac{(2\pi)^2}{2} \right) = k\sqrt{2} (2\pi^2) = 2\sqrt{2}k\pi^2 $$
La masse totale du fil est $2\sqrt{2}k\pi^2$.