Quizz : Polynômes irréductibles (Définition)

En arithmétique, les nombres premiers (comme 2, 3, 5, 7…) sont les « briques » fondamentales des entiers. Ils ne peuvent pas être décomposés en produits plus simples. En algèbre, les polynômes irréductibles jouent exactement le même rôle.

Un polynôme est dit irréductible s’il ne peut pas être « cassé » (factorisé) en un produit de deux autres polynômes de degré inférieur (non constants).

Mais il y a un piège crucial : l’irréductibilité dépend de l’ensemble de nombres dans lequel on travaille ! Un polynôme peut être irréductible sur \(\mathbb{Q}\) (les rationnels) mais devenir réductible (factorisable) sur \(\mathbb{R}\) (les réels) ou \(\mathbb{C}\) (les complexes). Ce quiz teste votre compréhension de cette définition et de ses nuances.

Question 1 : Un polynôme P(x) est irréductible si…

Il n’a aucune racine. Il ne peut pas être factorisé en produit de deux polynômes non constants. Son discriminant \(\Delta\) est négatif.

Question 2 : Un polynôme irréductible est l’analogue algébrique…

D’un nombre premier. D’un nombre irrationnel. D’un nombre pair.

Question 3 : Le polynôme \(P(x) = 5x – 10\) est-il irréductible sur \(\mathbb{Q}\) ?

Oui, car il est de degré 1. Non, car il se factorise en \(5(x – 2)\).

Question 4 : Le polynôme \(P(x) = x^2 – 4\) est-il irréductible sur \(\mathbb{Q}\) (rationnels) ?

Oui Non

Question 5 : Le polynôme \(P(x) = x^2 – 2\) est-il irréductible sur \(\mathbb{Q}\) (rationnels) ?

Oui Non

Question 6 : Le polynôme \(P(x) = x^2 – 2\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) (réels) ?

Oui Non

Question 7 : Le polynôme \(P(x) = x^2 + 1\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) (réels) ?

Oui Non

Question 8 : Le polynôme \(P(x) = x^2 + 1\) est-il irréductible sur \(\mathbb{C}\) (complexes) ?

Oui Non

Question 9 : Le polynôme \(P(x) = x^2 + 2x + 1\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui, car \(\Delta = 0\). Non, car il se factorise en \((x+1)^2\).

Question 10 : Le polynôme \(P(x) = 5x^2 + 10x\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui, car 5 et 10 sont constants. Non, car il se factorise en \(5x(x+2)\).

Question 11 : Dans \(\mathbb{C}\), quels sont les seuls polynômes irréductibles ?

Les polynômes de degré 1. Les polynômes de degré 1 et 2. Tous les polynômes sont irréductibles dans \(\mathbb{C}\).

Question 12 : Dans \(\mathbb{R}\), quels types de polynômes sont irréductibles ?

Seulement les polynômes de degré 1. Les degrés 1 et les degrés 2 avec \(\Delta < 0\). Tous les degrés impairs.

Question 13 : Le polynôme \(P(x) = x^3 + 1\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui, car il n’y a pas de terme en \(x\) ou \(x^2\). Non, car tout polynôme de degré 3 a au moins une racine réelle.

Question 14 : Le polynôme \(P(x) = x^2 + 2x + 5\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui, car \(\Delta = -16\). Non, car il a deux racines complexes.

Question 15 : Le polynôme \(P(x) = x^4 + 4\) est-il irréductible sur \(\mathbb{R}\) ? (Difficile)

Oui, car il n’a pas de racines réelles. Non, il se factorise par l’astuce de Sophie Germain.

Quiz terminé !

Bravo ! Vous avez navigué dans l’un des concepts les plus importants (et les plus subtils) de l’algèbre. La grande idée à retenir est que l’irréductibilité est relative.

Un polynôme est comme un coffre-fort.

Travailler sur \(\mathbb{Q}\) (rationnels), c’est essayer de l’ouvrir avec des clés simples. \(x^2 – 2\) reste fermé.
Travailler sur \(\mathbb{R}\) (réels), c’est utiliser des clés plus complexes (comme \(\sqrt{2}\)). Le coffre \(x^2 – 2\) s’ouvre, mais \(x^2 + 1\) reste fermé.
Travailler sur \(\mathbb{C}\) (complexes), c’est le « pass-partout » ultime (grâce à \(i\)). Tous les coffres s’ouvrent, sauf les polynômes de degré 1 qui sont déjà ouverts !

C’est la conséquence directe du Théorème Fondamental de l’Algèbre : dans \(\mathbb{C}\), tout polynôme se factorise complètement en facteurs de degré 1.

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