Test : Qu’est-ce qu’un sous-groupe ?
Soit \((G, *)\) un groupe. Un sous-groupe \(H\) de \(G\) est un sous-ensemble de \(G\) (noté \(H \subseteq G\)) qui est lui-même un groupe pour la même loi \(*\).
Pour prouver que \(H\) est un sous-groupe, on n’a pas besoin de tout revérifier ! L’associativité est héritée. On utilise une « caractérisation » :
Caractérisation (3 étapes) : \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si :
- \(H\) n’est pas vide (contient l’élément neutre \(e\)).
- \(H\) est stable pour la loi \(*\) : \(\forall a, b \in H, a * b \in H\).
- \(H\) est stable par symétrique : \(\forall a \in H, a^{-1} \in H\).
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Comprendre la caractérisation d’un sous-groupe est la compétence la plus importante. Il faut toujours vérifier 3 choses :
- 1. Contient-il l’élément neutre ?
- 2. Est-il stable par la loi ? (\(a*b \in H\))
- 3. Est-il stable par symétrique ? (\(a^{-1} \in H\))