Cours sur Cercle et Disque : dans cette leçon, tu vas apprendre à reconnaître, nommer et utiliser ces deux notions très importantes en géométrie. Tu verras aussi comment éviter les confusions et réussir facilement les exercices.
Activité de découverte : observer un Cercle et Disque dans la vie courante
Regarde une pièce de monnaie, une roue de vélo ou une pizza. Ces objets semblent avoir la même forme, mais en géométrie, on distingue deux notions différentes.
Imaginons une pizza entière posée sur la table :
- le bord de la pizza représente le cercle ;
- toute la surface de la pizza représente le disque.
Cette différence est essentielle. Beaucoup d’élèves confondent le contour et la surface. Dans cette leçon, nous allons apprendre à bien les distinguer.
Petite situation
On dessine une figure avec un compas. Le compas trace uniquement la ligne extérieure. Il ne colorie pas l’intérieur.
- La ligne tracée par le compas est-elle un cercle ou un disque ?
- Si on colorie toute la partie intérieure, obtient-on encore un cercle ou un disque ?
Réponse attendue :
- la ligne tracée est un cercle ;
- la région intérieure coloriée avec son bord est un disque.
Nous allons maintenant retenir les définitions exactes.
Je retiens : le cours sur Cercle et Disque
Définition du cercle
Un cercle est l’ensemble des points situés à la même distance d’un point appelé centre.
Cette distance s’appelle le rayon.
Si le centre est $O$ et si le rayon vaut $3\ \text{cm}$, on dit :
$$\text{Le cercle de centre } O \text{ et de rayon } 3\ \text{cm}$$
- Le cercle est seulement la ligne fermée.
- Il n’a pas d’épaisseur.
- Tous ses points sont à la même distance du centre.
Définition du disque
Un disque est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale au rayon d’un point appelé centre.
Le disque contient :
- l’intérieur ;
- et le bord.
Autrement dit :
$$\text{Disque} = \text{intérieur} + \text{cercle}$$
Le centre
Le centre est le point de référence du cercle ou du disque. On le note souvent $O$.
Tous les points du cercle sont à la même distance de ce point.
Le rayon
Le rayon est un segment qui relie le centre à un point du cercle.
Si $O$ est le centre et $A$ est un point du cercle, alors $[OA]$ est un rayon.
On écrit :
$$OA = r$$
où $r$ désigne le rayon.
Le diamètre
Le diamètre est un segment qui relie deux points du cercle et qui passe par le centre.
Si $[AB]$ est un diamètre, alors :
$$AB = 2 \times OA$$
Donc :
$$d = 2r$$
et aussi :
$$r = \dfrac{d}{2}$$
La corde
Une corde est un segment qui relie deux points du cercle.
Un diamètre est une corde particulière, car il passe par le centre.
Un point à l’intérieur, sur le cercle ou à l’extérieur
Pour un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ :
- si $OM < r$, le point $M$ est à l’intérieur du disque ;
- si $OM = r$, le point $M$ est sur le cercle ;
- si $OM > r$, le point $M$ est à l’extérieur du disque.
À retenir absolument
- Le cercle est le contour.
- Le disque est la surface intérieure avec le contour.
- Le rayon va du centre au cercle.
- Le diamètre passe par le centre.
- Le diamètre mesure deux fois le rayon.
Méthodes et exemples résolus sur Cercle et Disque
Méthode 1 : reconnaître un cercle et un disque
Règle : si on parle du bord seulement, c’est un cercle. Si on parle de toute la surface, c’est un disque.
Exemple 1 : On trace au compas une figure de centre $O$ et de rayon $4\ \text{cm}$.
- Le compas trace le bord.
- Donc la figure tracée est un cercle.
Exemple 2 : On colorie l’intérieur de cette figure.
- On obtient la surface intérieure plus le bord.
- C’est donc un disque.
Exemple 3 : Une piste d’athlétisme circulaire vue seulement par sa ligne blanche extérieure.
- On ne considère que le contour.
- On modélise cela par un cercle.
Méthode 2 : calculer le diamètre à partir du rayon
Règle :
$$d = 2r$$
Exemple 1 : $r = 5\ \text{cm}$
- On applique la formule $d = 2r$.
- $$d = 2 \times 5 = 10$$
Donc le diamètre mesure $10\ \text{cm}$.
Exemple 2 : $r = 7,5\ \text{cm}$
- $$d = 2 \times 7,5 = 15$$
Donc le diamètre est $15\ \text{cm}$.
Exemple 3 : $r = 12\ \text{m}$
- $$d = 2 \times 12 = 24$$
Le diamètre mesure $24\ \text{m}$.
Méthode 3 : calculer le rayon à partir du diamètre
Règle :
$$r = \dfrac{d}{2}$$
Exemple 1 : $d = 18\ \text{cm}$
- $$r = \dfrac{18}{2} = 9$$
Donc le rayon est $9\ \text{cm}$.
Exemple 2 : $d = 25\ \text{mm}$
- $$r = \dfrac{25}{2} = 12,5$$
Donc le rayon est $12,5\ \text{mm}$.
Exemple 3 : $d = 3,6\ \text{m}$
- $$r = \dfrac{3,6}{2} = 1,8$$
Le rayon est $1,8\ \text{m}$.
Méthode 4 : savoir si un point est à l’intérieur, sur le cercle ou à l’extérieur
Règle : on compare la distance du point au centre avec le rayon.
Exemple 1 : Cercle de centre $O$ et de rayon $6\ \text{cm}$. On a $OM = 4\ \text{cm}$.
- On compare $4$ et $6$.
- Comme $4 < 6$, le point $M$ est à l’intérieur du disque.
Exemple 2 : Cercle de rayon $6\ \text{cm}$ et $ON = 6\ \text{cm}$.
- Comme $6 = 6$, le point $N$ est sur le cercle.
Exemple 3 : Cercle de rayon $6\ \text{cm}$ et $OP = 8\ \text{cm}$.
- Comme $8 > 6$, le point $P$ est à l’extérieur du disque.
Attention / Pièges à éviter
- Ne pas confondre cercle et disque. Le cercle est le bord. Le disque est la surface.
- Ne pas dire qu’un diamètre est un rayon. Le diamètre est deux fois plus long que le rayon.
- Ne pas oublier le centre. Un diamètre doit passer par le centre.
- Faire attention aux unités. Si le rayon est en cm, le diamètre sera aussi en cm.
- Ne pas confondre corde et diamètre. Toute corde ne passe pas forcément par le centre.
Erreur fréquente
Un élève écrit : « Le disque est la ligne tracée au compas ». C’est faux.
La bonne phrase est :
- le compas trace un cercle ;
- si on remplit l’intérieur, on obtient un disque.
Exercices d’application progressifs sur Cercle et Disque
Série d’exercices
- Dans chaque cas, dire s’il s’agit d’un cercle ou d’un disque :
- a) le contour d’une assiette ;
- b) la surface d’un autocollant rond ;
- c) la ligne tracée par un compas ;
- d) une pièce de monnaie entière.
- Un cercle a pour centre $O$ et pour rayon $4\ \text{cm}$. Quelle est la longueur de son diamètre ?
- Un cercle a pour diamètre $16\ \text{cm}$. Quelle est la longueur de son rayon ?
- Compléter :
- a) si $r = 9\ \text{cm}$, alors $d = \ldots$
- b) si $d = 22\ \text{cm}$, alors $r = \ldots$
- c) si $r = 3,5\ \text{cm}$, alors $d = \ldots$
- Dans un cercle de centre $O$ et de rayon $5\ \text{cm}$, on sait que $OA = 5\ \text{cm}$, $OB = 3\ \text{cm}$ et $OC = 7\ \text{cm}$. Dire où se trouvent les points $A$, $B$ et $C$.
- Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3\ \text{cm}$. Placer un point $A$ sur le cercle, puis tracer un rayon.
- Tracer un cercle de centre $M$ et de rayon $2,5\ \text{cm}$. Tracer ensuite un diamètre.
- Un disque a pour centre $S$ et pour rayon $8\ \text{cm}$. Un point $T$ est situé à $6\ \text{cm}$ du centre. Le point $T$ est-il sur le cercle, dans le disque ou à l’extérieur ?
- Le diamètre d’un rond-point mesure $30\ \text{m}$. Quel est son rayon ?
- Le rayon d’une roue mesure $35\ \text{cm}$. Quel est son diamètre ?
- Dans une figure, $[AB]$ relie deux points du cercle et passe par le centre $O$. Comment s’appelle le segment $[AB]$ ?
- Dans une figure, $[CD]$ relie deux points du cercle mais ne passe pas par le centre. Comment s’appelle le segment $[CD]$ ?
- On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $10\ \text{cm}$. Dire si chaque phrase est vraie ou fausse :
- a) un point situé à $10\ \text{cm}$ de $O$ est sur le cercle ;
- b) un point situé à $8\ \text{cm}$ de $O$ est à l’extérieur ;
- c) un point situé à $12\ \text{cm}$ de $O$ est à l’extérieur.
- Une table ronde a un diamètre de $1,2\ \text{m}$. Calculer son rayon.
- Un jardin circulaire a un rayon de $9\ \text{m}$. Calculer son diamètre.
Corrections détaillées
Correction de l’exercice 1
a) Le contour d’une assiette correspond seulement au bord.
Réponse : c’est un cercle.
b) La surface d’un autocollant rond comprend l’intérieur.
Réponse : c’est un disque.
c) La ligne tracée par un compas est seulement le bord.
Réponse : c’est un cercle.
d) Une pièce de monnaie entière comprend toute la surface.
Réponse : c’est un disque.
Correction de l’exercice 2
On connaît le rayon :
$$r = 4\ \text{cm}$$
On utilise la formule :
$$d = 2r$$
Calcul :
$$d = 2 \times 4 = 8\ \text{cm}$$
Le diamètre mesure donc $8\ \text{cm}$.
Correction de l’exercice 3
On connaît le diamètre :
$$d = 16\ \text{cm}$$
On utilise :
$$r = \dfrac{d}{2}$$
Calcul :
$$r = \dfrac{16}{2} = 8\ \text{cm}$$
Le rayon mesure donc $8\ \text{cm}$.
Correction de l’exercice 4
a) Si $r = 9\ \text{cm}$, alors :
$$d = 2r = 2 \times 9 = 18\ \text{cm}$$
b) Si $d = 22\ \text{cm}$, alors :
$$r = \dfrac{22}{2} = 11\ \text{cm}$$
c) Si $r = 3,5\ \text{cm}$, alors :
$$d = 2 \times 3,5 = 7\ \text{cm}$$
Réponses :
- a) $18\ \text{cm}$
- b) $11\ \text{cm}$
- c) $7\ \text{cm}$
Correction de l’exercice 5
Le rayon vaut $5\ \text{cm}$.
- Pour $A$, on a $OA = 5\ \text{cm}$.
- Comme $OA = r$, le point $A$ est sur le cercle.
- Pour $B$, on a $OB = 3\ \text{cm}$.
- Comme $3 < 5$, le point $B$ est à l’intérieur du disque.
- Pour $C$, on a $OC = 7\ \text{cm}$.
- Comme $7 > 5$, le point $C$ est à l’extérieur du disque.
Correction de l’exercice 6
Il faut :
- piquer le compas au point $O$ ;
- ouvrir le compas à $3\ \text{cm}$ ;
- tracer le cercle ;
- choisir un point $A$ sur le cercle ;
- tracer le segment $[OA]$.
Le segment $[OA]$ est un rayon car il relie le centre à un point du cercle.
Correction de l’exercice 7
Il faut :
- piquer le compas au point $M$ ;
- ouvrir à $2,5\ \text{cm}$ ;
- tracer le cercle ;
- choisir un point du cercle ;
- tracer une droite passant par le centre $M$ jusqu’à couper le cercle de l’autre côté.
Le segment obtenu est un diamètre.
Sa longueur vaut :
$$d = 2r = 2 \times 2,5 = 5\ \text{cm}$$
Correction de l’exercice 8
Le rayon du disque est :
$$r = 8\ \text{cm}$$
La distance du point $T$ au centre est :
$$ST = 6\ \text{cm}$$
On compare :
- $6 < 8$
Donc le point $T$ est dans le disque, c’est-à-dire à l’intérieur.
Correction de l’exercice 9
Le diamètre du rond-point est :
$$d = 30\ \text{m}$$
Le rayon vaut :
$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\ \text{m}$$
Le rayon est donc $15\ \text{m}$.
Correction de l’exercice 10
Le rayon de la roue est :
$$r = 35\ \text{cm}$$
Le diamètre vaut :
$$d = 2r = 2 \times 35 = 70\ \text{cm}$$
Le diamètre est donc $70\ \text{cm}$.
Correction de l’exercice 11
Le segment $[AB]$ relie deux points du cercle et passe par le centre $O$.
Par définition, c’est un diamètre.
Correction de l’exercice 12
Le segment $[CD]$ relie deux points du cercle mais ne passe pas par le centre.
Par définition, c’est une corde.
Correction de l’exercice 13
Le rayon du cercle est :
$$r = 10\ \text{cm}$$
a) Un point situé à $10\ \text{cm}$ de $O$ est sur le cercle.
C’est vrai car la distance au centre est égale au rayon.
b) Un point situé à $8\ \text{cm}$ de $O$ est à l’extérieur.
C’est faux car $8 < 10$. Le point est à l’intérieur du disque.
c) Un point situé à $12\ \text{cm}$ de $O$ est à l’extérieur.
C’est vrai car $12 > 10$.
Correction de l’exercice 14
Le diamètre de la table est :
$$d = 1,2\ \text{m}$$
Le rayon vaut :
$$r = \dfrac{1,2}{2} = 0,6\ \text{m}$$
Le rayon de la table est donc $0,6\ \text{m}$.
Correction de l’exercice 15
Le rayon du jardin est :
$$r = 9\ \text{m}$$
Le diamètre vaut :
$$d = 2r = 2 \times 9 = 18\ \text{m}$$
Le diamètre du jardin est donc $18\ \text{m}$.
Bilan sur Cercle et Disque
Tu dois maintenant savoir distinguer clairement le cercle et le disque. C’est une base très importante en géométrie.
- Le cercle est le contour.
- Le disque est la surface intérieure avec le contour.
- Le rayon relie le centre à un point du cercle.
- Le diamètre relie deux points du cercle en passant par le centre.
- La relation essentielle est :
$$d = 2r$$
Si tu maîtrises ces idées, tu seras prêt pour des notions plus avancées de géométrie. Continue à t’entraîner avec la règle, le compas et des figures simples.